Theorem inf3lem1 4585

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4592 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. V
inf3lem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem1	|- (A e. om -> (F` A) (_ (F` suc A))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3709	. . 3 |- (v = (/) -> (F` v) = (F` (/)))
2		suceq 3024	. . . 4 |- (v = (/) -> suc v = suc (/))
3	2	fveq2d 3713	. . 3 |- (v = (/) -> (F` suc v) = (F` suc (/)))
4	1, 3	sseq12d 2080	. 2 |- (v = (/) -> ((F` v) (_ (F` suc v) <-> (F` (/)) (_ (F` suc (/))))
5		fveq2 3709	. . 3 |- (v = u -> (F` v) = (F` u))
6		suceq 3024	. . . 4 |- (v = u -> suc v = suc u)
7	6	fveq2d 3713	. . 3 |- (v = u -> (F` suc v) = (F` suc u))
8	5, 7	sseq12d 2080	. 2 |- (v = u -> ((F` v) (_ (F` suc v) <-> (F` u) (_ (F` suc u)))
9		fveq2 3709	. . 3 |- (v = suc u -> (F` v) = (F` suc u))
10		suceq 3024	. . . 4 |- (v = suc u -> suc v = suc suc u)
11	10	fveq2d 3713	. . 3 |- (v = suc u -> (F` suc v) = (F` suc suc u))
12	9, 11	sseq12d 2080	. 2 |- (v = suc u -> ((F` v) (_ (F` suc v) <-> (F` suc u) (_ (F` suc suc u)))
13		fveq2 3709	. . 3 |- (v = A -> (F` v) = (F` A))
14		suceq 3024	. . . 4 |- (v = A -> suc v = suc A)
15	14	fveq2d 3713	. . 3 |- (v = A -> (F` suc v) = (F` suc A))
16	13, 15	sseq12d 2080	. 2 |- (v = A -> ((F` v) (_ (F` suc v) <-> (F` A) (_ (F` suc A)))
17		inf3lem.1	. . . 4 |- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
18		inf3lem.2	. . . 4 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
19		inf3lem.3	. . . 4 |- A e. V
20	17, 18, 19, 19	inf3lemb 4582	. . 3 |- (F` (/)) = (/)
21		0ss 2291	. . 3 |- (/) (_ (F` suc (/))
22	20, 21	eqsstr 2081	. 2 |- (F` (/)) (_ (F` suc (/))
23		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- u e. V
24	17, 18, 23, 23	inf3lemc 4583	. . . . . . . . 9 |- (u e. om -> (F` suc u) = (G` (F` u)))
25	24	eleq2d 1533	. . . . . . . 8 |- (u e. om -> (v e. (F` suc u) <-> v e. (G` (F` u))))
26		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- v e. V
27		fvex 3717	. . . . . . . . 9 |- (F` u) e. V
28	17, 18, 26, 27	inf3lema 4581	. . . . . . . 8 |- (v e. (G` (F` u)) <-> (v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` u)))
29	25, 28	syl6bb 534	. . . . . . 7 |- (u e. om -> (v e. (F` suc u) <-> (v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` u))))
30		peano2b 3137	. . . . . . . . . 10 |- (u e. om <-> suc u e. om)
31	23	sucex 3040	. . . . . . . . . . 11 |- suc u e. V
32	17, 18, 31, 23	inf3lemc 4583	. . . . . . . . . 10 |- (suc u e. om -> (F` suc suc u) = (G` (F` suc u)))
33	30, 32	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- (u e. om -> (F` suc suc u) = (G` (F` suc u)))
34	33	eleq2d 1533	. . . . . . . 8 |- (u e. om -> (v e. (F` suc suc u) <-> v e. (G` (F` suc u))))
35		fvex 3717	. . . . . . . . 9 |- (F` suc u) e. V
36	17, 18, 26, 35	inf3lema 4581	. . . . . . . 8 |- (v e. (G` (F` suc u)) <-> (v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` suc u)))
37	34, 36	syl6bb 534	. . . . . . 7 |- (u e. om -> (v e. (F` suc suc u) <-> (v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` suc u))))
38	29, 37	imbi12d 624	. . . . . 6 |- (u e. om -> ((v e. (F` suc u) -> v e. (F` suc suc u)) <-> ((v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` u)) -> (v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` suc u)))))
39		sstr2 2061	. . . . . . . 8 |- ((v i^i x) (_ (F` u) -> ((F` u) (_ (F` suc u) -> (v i^i x) (_ (F` suc u)))
40	39	com12 11	. . . . . . 7 |- ((F` u) (_ (F` suc u) -> ((v i^i x) (_ (F` u) -> (v i^i x) (_ (F` suc u)))
41	40	anim2d 559	. . . . . 6 |- ((F` u) (_ (F` suc u) -> ((v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` u)) -> (v e. x /\ (v i^i x) (_ (F` suc u))))
42	38, 41	syl5bir 210	. . . . 5 |- (u e. om -> ((F` u) (_ (F` suc u) -> (v e. (F` suc u) -> v e. (F` suc suc u))))
43	42	imp 350	. . . 4 |- ((u e. om /\ (F` u) (_ (F` suc u)) -> (v e. (F` suc u) -> v e. (F` suc suc u)))
44	43	ssrdv 2060	. . 3 |- ((u e. om /\ (F` u) (_ (F` suc u)) -> (F` suc u) (_ (F` suc suc u))
45	44	ex 373	. 2 |- (u e. om -> ((F` u) (_ (F` suc u) -> (F` suc u) (_ (F` suc suc u)))
46	4, 8, 12, 16, 22, 45	finds 3146	1 |- (A e. om -> (F` A) (_ (F` suc A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640  Vcvv 1802   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270  {copab 2656  suc csuc 2940  omcom 3121   |` cres 3162  ` cfv 3172  reccrdg 3916

This theorem is referenced by:  inf3lem4 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917

Copyright terms: Public domain