Theorem inf3lem4 4599

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4603 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. V
inf3lem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem4	|- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) (. (F` suc A)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . 5 |- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
2		inf3lem.2	. . . . 5 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
3		inf3lem.3	. . . . 5 |- A e. V
4		inf3lem.4	. . . . 5 |- B e. V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem1 4596	. . . 4 |- (A e. om -> (F` A) (_ (F` suc A))
6	5	a1i 8	. . 3 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) (_ (F` suc A)))
7	1, 2, 3, 4	inf3lem3 4598	. . 3 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) =/= (F` suc A)))
8	6, 7	jcad 599	. 2 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> ((F` A) (_ (F` suc A) /\ (F` A) =/= (F` suc A))))
9		df-pss 2052	. 2 |- ((F` A) (. (F` suc A) <-> ((F` A) (_ (F` suc A) /\ (F` A) =/= (F` suc A)))
10	8, 9	syl6ibr 213	1 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) (. (F` suc A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  {crab 1646  Vcvv 1808   i^i cin 2043   (_ wss 2044   (. wpss 2045  (/)c0 2277  U.cuni 2499  {copab 2662  suc csuc 2946  omcom 3127   |` cres 3168  ` cfv 3178  reccrdg 3926

This theorem is referenced by:  inf3lem5 4600

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927

Copyright terms: Public domain