Theorem inf3lem7 4599

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4600 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Replacement in the form of funrnex 3605.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. V
inf3lem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem7	|- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om e. V)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . 3 |- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
2		inf3lem.2	. . 3 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
3		inf3lem.3	. . 3 |- A e. V
4		inf3lem.4	. . 3 |- B e. V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem6 4598	. 2 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> F:om-1-1->P~x)
6		f1f 3656	. . . . 5 |- (F:om-1-1->P~x -> F:om-->P~x)
7		fdm 3623	. . . . 5 |- (F:om-->P~x -> dom F = om)
8	6, 7	syl 10	. . . 4 |- (F:om-1-1->P~x -> dom F = om)
9		dfdm4 3300	. . . 4 |- dom F = ran `' F
10	8, 9	syl5eqr 1518	. . 3 |- (F:om-1-1->P~x -> ran `' F = om)
11		funrnex 3605	. . . 4 |- (dom `' F e. V -> (Fun `'F -> ran `' F e. V))
12		frn 3624	. . . . . 6 |- (F:om-->P~x -> ran F (_ P~x)
13		visset 1809	. . . . . . . 8 |- x e. V
14	13	pwex 2740	. . . . . . 7 |- P~x e. V
15	14	ssex 2714	. . . . . 6 |- (ran F (_ P~x -> ran F e. V)
16	6, 12, 15	3syl 20	. . . . 5 |- (F:om-1-1->P~x -> ran F e. V)
17		df-rn 3184	. . . . 5 |- ran F = dom `' F
18	16, 17	syl5eqelr 1550	. . . 4 |- (F:om-1-1->P~x -> dom `' F e. V)
19		df-f1 3190	. . . . 5 |- (F:om-1-1->P~x <-> (F:om-->P~x /\ Fun `'F))
20	19	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (F:om-1-1->P~x -> Fun `'F)
21	11, 18, 20	sylc 68	. . 3 |- (F:om-1-1->P~x -> ran `' F e. V)
22	10, 21	eqeltrrd 1546	. 2 |- (F:om-1-1->P~x -> om e. V)
23	5, 22	syl 10	1 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  {crab 1645  Vcvv 1807   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  P~cpw 2397  U.cuni 2498  {copab 2661  omcom 3126  `'ccnv 3164  dom cdm 3165  ran crn 3166   |` cres 3167  Fun wfun 3171  -->wf 3173  -1-1->wf1 3174  reccrdg 3922

This theorem is referenced by:  inf3 4600  infeq5 4601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fv 3193  df-rdg 3923

Copyright terms: Public domain