Theorem inf3lemb 4619

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4629 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. V
inf3lem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemb	|- (F` (/)) = (/)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.2	. . 3 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
2	1	fveq1i 3731	. 2 |- (F` (/)) = ((rec(G, (/)) |` om)` (/))
3		0ex 2716	. . 3 |- (/) e. V
4		fr0t 3958	. . 3 |- ((/) e. V -> ((rec(G, (/)) |` om)` (/)) = (/))
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- ((rec(G, (/)) |` om)` (/)) = (/)
6	2, 5	eqtr 1498	1 |- (F` (/)) = (/)

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651  Vcvv 1814   i^i cin 2049   (_ wss 2050  (/)c0 2283  {copab 2671  omcom 3137   |` cres 3178  ` cfv 3188  reccrdg 3937

This theorem is referenced by:  inf3lemd 4621  inf3lem1 4622  inf3lem2 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938

Copyright terms: Public domain