Theorem inf3lemc 4591

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4600 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. V
inf3lem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemc	|- (A e. om -> (F` suc A) = (G` (F` A)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lemc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuct 3944	. 2 |- (A e. om -> ((rec(G, (/)) |` om)` suc A) = (G` ((rec(G, (/)) |` om)` A)))
2		inf3lem.2	. . 3 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
3	2	fveq1i 3716	. 2 |- (F` suc A) = ((rec(G, (/)) |` om)` suc A)
4	2	fveq1i 3716	. . 3 |- (F` A) = ((rec(G, (/)) |` om)` A)
5	4	fveq2i 3718	. 2 |- (G` (F` A)) = (G` ((rec(G, (/)) |` om)` A))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 1528	1 |- (A e. om -> (F` suc A) = (G` (F` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  {crab 1645  Vcvv 1807   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {copab 2661  suc csuc 2945  omcom 3126   |` cres 3167  ` cfv 3177  reccrdg 3922

This theorem is referenced by:  inf3lemd 4592  inf3lem1 4593  inf3lem2 4594  inf3lem3 4595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923

Copyright terms: Public domain