Theorem infcvgaux2 7163

Description: Auxilliary theorem for applications of infcvg 7167.

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = {x | E.y e. X x = -uA}
infcvg.2	|- (y e. X -> A e. RR)
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
infcvg.5a	|- S = -usup(R, RR, < )
infcvg.13	|- (y = C -> A = B)

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux2	|- (C e. X -> S <_ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   y,C   z,w,R   x,X,y   x,Z,y

Proof of Theorem infcvgaux2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. . . . . 6 |- -uB = -uB
2		infcvg.13	. . . . . . . . 9 |- (y = C -> A = B)
3	2	negeqd 5341	. . . . . . . 8 |- (y = C -> -uA = -uB)
4	3	eqeq2d 1483	. . . . . . 7 |- (y = C -> (-uB = -uA <-> -uB = -uB))
5	4	rcla4ev 1873	. . . . . 6 |- ((C e. X /\ -uB = -uB) -> E.y e. X -uB = -uA)
6	1, 5	mpan2 695	. . . . 5 |- (C e. X -> E.y e. X -uB = -uA)
7		negex 5345	. . . . . 6 |- -uB e. V
8		eqeq1 1478	. . . . . . 7 |- (x = -uB -> (x = -uA <-> -uB = -uA))
9	8	rexbidv 1661	. . . . . 6 |- (x = -uB -> (E.y e. X x = -uA <-> E.y e. X -uB = -uA))
10		infcvg.1	. . . . . 6 |- R = {x | E.y e. X x = -uA}
11	7, 9, 10	elab2 1897	. . . . 5 |- (-uB e. R <-> E.y e. X -uB = -uA)
12	6, 11	sylibr 200	. . . 4 |- (C e. X -> -uB e. R)
13		infcvg.2	. . . . . 6 |- (y e. X -> A e. RR)
14		infcvg.3	. . . . . 6 |- Z e. X
15		infcvg.4	. . . . . 6 |- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
16	10, 13, 14, 15	infcvgaux1 7162	. . . . 5 |- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. R w <_ z)
17	16	suprubi 6017	. . . 4 |- (-uB e. R -> -uB <_ sup(R, RR, < ))
18	12, 17	syl 10	. . 3 |- (C e. X -> -uB <_ sup(R, RR, < ))
19		eleq1 1531	. . . . . . 7 |- (y = C -> (y e. X <-> C e. X))
20	2	eleq1d 1537	. . . . . . 7 |- (y = C -> (A e. RR <-> B e. RR))
21	19, 20	imbi12d 625	. . . . . 6 |- (y = C -> ((y e. X -> A e. RR) <-> (C e. X -> B e. RR)))
22	21, 13	vtoclg 1843	. . . . 5 |- (C e. X -> (C e. X -> B e. RR))
23	22	pm2.43i 64	. . . 4 |- (C e. X -> B e. RR)
24	16	suprcli 6016	. . . . 5 |- sup(R, RR, < ) e. RR
25		lenegcon1t 5639	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ sup(R, RR, < ) e. RR) -> (-uB <_ sup(R, RR, < ) <-> -usup(R, RR, < ) <_ B))
26	24, 25	mpan2 695	. . . 4 |- (B e. RR -> (-uB <_ sup(R, RR, < ) <-> -usup(R, RR, < ) <_ B))
27	23, 26	syl 10	. . 3 |- (C e. X -> (-uB <_ sup(R, RR, < ) <-> -usup(R, RR, < ) <_ B))
28	18, 27	mpbid 195	. 2 |- (C e. X -> -usup(R, RR, < ) <_ B)
29		infcvg.5a	. 2 |- S = -usup(R, RR, < )
30	28, 29	syl5eqbr 2643	1 |- (C e. X -> S <_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  supcsup 4553  RRcr 5213  -ucneg 5273   <_ cle 5275   < clt 5466

This theorem is referenced by:  infcvglem3 7166  minveclem13 8501

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain