Theorem infcvglem2 7165

Description: Lemma for infcvg 7167. Show that G converges to the infimum.

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = {x | E.y e. X x = -uA}
infcvg.2	|- (y e. X -> A e. RR)
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
infcvg.5c	|- S = -usup(R, RR, < )
infcvg.9	|- G e. V
infcvg.10	|- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
infcvg.11	|- H e. V
infcvg.12	|- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))

Assertion

Ref	Expression
infcvglem2	|- G ~~> S

Distinct variable groups:   x,A   x,y   k,G   k,H   z,w,R   S,k   x,k,y,X   x,Z,y

Proof of Theorem infcvglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.11	. . . . . 6 |- H e. V
2	1	reccnv 7161	. . . . 5 |- (A.k e. NN (H` k) = (1 / k) -> H ~~> 0)
3		infcvg.12	. . . . 5 |- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))
4	2, 3	mprg 1697	. . . 4 |- H ~~> 0
5		infcvg.5c	. . . . . 6 |- S = -usup(R, RR, < )
6		infcvg.1	. . . . . . . . 9 |- R = {x | E.y e. X x = -uA}
7		infcvg.2	. . . . . . . . 9 |- (y e. X -> A e. RR)
8		infcvg.3	. . . . . . . . 9 |- Z e. X
9		infcvg.4	. . . . . . . . 9 |- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
10	6, 7, 8, 9	infcvgaux1 7162	. . . . . . . 8 |- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. R w <_ z)
11	10	suprcli 6016	. . . . . . 7 |- sup(R, RR, < ) e. RR
12	11	renegcl 5396	. . . . . 6 |- -usup(R, RR, < ) e. RR
13	5, 12	eqeltr 1541	. . . . 5 |- S e. RR
14	13	recn 5294	. . . 4 |- S e. CC
15	4, 14	pm3.2i 285	. . 3 |- (H ~~> 0 /\ S e. CC)
16		1z 6114	. . . 4 |- 1 e. ZZ
17		elnnuz 6380	. . . . . 6 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>` 1))
18		nnrecret 6223	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
19	18	recnd 5295	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (1 / k) e. CC)
20	3, 19	eqeltrd 1545	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (H` k) e. CC)
21		infcvg.10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
22	3	opreq2d 3967	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (S + (H` k)) = (S + (1 / k)))
23	21, 22	eqtr4d 1507	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (G` k) = (S + (H` k)))
24	20, 23	jca 288	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
25	17, 24	sylbir 201	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
26	25	rgen 1695	. . . 4 |- A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k)))
27	16, 26	pm3.2i 285	. . 3 |- (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
28		infcvg.9	. . . 4 |- G e. V
29		0cn 5308	. . . . 5 |- 0 e. CC
30	29	elisseti 1814	. . . 4 |- 0 e. V
31	13	elisseti 1814	. . . 4 |- S e. V
32	1, 28, 30, 31	climaddc2 7063	. . 3 |- (((H ~~> 0 /\ S e. CC) /\ (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))) -> G ~~> (S + 0))
33	15, 27, 32	mp2an 696	. 2 |- G ~~> (S + 0)
34	14	addid1 5310	. 2 |- (S + 0) = S
35	33, 34	breqtr 2633	1 |- G ~~> S

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217  -ucneg 5273   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  ZZcz 5278   < clt 5466  ZZ>cuz 6357   ~~> cli 6920

This theorem is referenced by:  infcvglem3 7166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-q 6202  df-seq1 6253  df-uz 6358  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921

Copyright terms: Public domain