Theorem infdif2 7529

Description: Cardinality ordering for an infinite set difference.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. V
infunabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
infdif2	|- (om ~<_ A -> ((A \ B) ~<_ B <-> A ~<_ B))

Proof of Theorem infdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infunabs.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
2		infunabs.2	. . . . . . . 8 |- B e. V
3	1, 2	infdif 7528	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> (A \ B) ~~ A)
4	1	ensym 4402	. . . . . . 7 |- ((A \ B) ~~ A -> A ~~ (A \ B))
5	3, 4	syl 10	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> A ~~ (A \ B))
6		difexg 2718	. . . . . . . . . 10 |- (A e. V -> (A \ B) e. V)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (A \ B) e. V
8		sdomentr 4459	. . . . . . . . 9 |- ((A \ B) e. V -> ((B ~< A /\ A ~~ (A \ B)) -> B ~< (A \ B)))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((B ~< A /\ A ~~ (A \ B)) -> B ~< (A \ B))
10	9	ex 373	. . . . . . 7 |- (B ~< A -> (A ~~ (A \ B) -> B ~< (A \ B)))
11	10	adantl 388	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> (A ~~ (A \ B) -> B ~< (A \ B)))
12	5, 11	mpd 26	. . . . 5 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> B ~< (A \ B))
13	12	ex 373	. . . 4 |- (om ~<_ A -> (B ~< A -> B ~< (A \ B)))
14	13	con3d 95	. . 3 |- (om ~<_ A -> (-. B ~< (A \ B) -> -. B ~< A))
15		domtri 4821	. . . 4 |- (((A \ B) e. V /\ B e. V) -> ((A \ B) ~<_ B <-> -. B ~< (A \ B)))
16	7, 2, 15	mp2an 696	. . 3 |- ((A \ B) ~<_ B <-> -. B ~< (A \ B))
17		domtri 4821	. . . 4 |- ((A e. V /\ B e. V) -> (A ~<_ B <-> -. B ~< A))
18	1, 2, 17	mp2an 696	. . 3 |- (A ~<_ B <-> -. B ~< A)
19	14, 16, 18	3imtr4g 552	. 2 |- (om ~<_ A -> ((A \ B) ~<_ B -> A ~<_ B))
20		difss 2164	. . . 4 |- (A \ B) (_ A
21		ssdom2g 4399	. . . 4 |- (A e. V -> ((A \ B) (_ A -> (A \ B) ~<_ A))
22	1, 20, 21	mp2 43	. . 3 |- (A \ B) ~<_ A
23		domtr 4405	. . 3 |- (((A \ B) ~<_ A /\ A ~<_ B) -> (A \ B) ~<_ B)
24	22, 23	mpan 694	. 2 |- (A ~<_ B -> (A \ B) ~<_ B)
25	19, 24	impbid1 516	1 |- (om ~<_ A -> ((A \ B) ~<_ B <-> A ~<_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957  Vcvv 1808   \ cdif 2041   (_ wss 2044   class class class wbr 2615  omcom 3127   ~~ cen 4357   ~<_ cdom 4358   ~< csdm 4359

This theorem is referenced by:  axgroth3 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-ac 4727

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-iso 3195  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-2o 4127  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-card 4799  df-cda 4901  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514

Copyright terms: Public domain