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Theorem infensuc 7248
Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
infensuc  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem infensuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onprc 4728 . . . . 5  |-  -.  On  e.  _V
2 eleq1 2468 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( om  e.  _V  <->  On  e.  _V ) )
31, 2mtbiri 295 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  -.  om  e.  _V )
4 ssexg 4313 . . . . 5  |-  ( ( om  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  om  e.  _V )
54ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  _V )
63, 5nsyl3 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  -.  om  =  On )
7 omon 4819 . . . 4  |-  ( om  e.  On  \/  om  =  On )
87ori 365 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  On  ->  om  =  On )
96, 8nsyl2 121 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  On )
10 id 20 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  x  =  om )
11 suceq 4610 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  suc  x  =  suc  om )
1210, 11breq12d 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  om  ~~  suc  om ) )
13 id 20 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 suceq 4610 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1513, 14breq12d 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  y  ~~  suc  y ) )
16 id 20 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
17 suceq 4610 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1816, 17breq12d 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  ~~  suc  x 
<->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
19 id 20 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
20 suceq 4610 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
2119, 20breq12d 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  A  ~~  suc  A ) )
22 limom 4823 . . . . . . 7  |-  Lim  om
2322limensuci 7246 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  ~~  suc  om )
24 vex 2923 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2524sucex 4754 . . . . . . . . . 10  |-  suc  y  e.  _V
26 en2sn 7149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  suc  y  e.  _V )  ->  { y } 
~~  { suc  y } )
2724, 25, 26mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  { y }  ~~  { suc  y }
28 eloni 4555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
29 ordirr 4563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  y  ->  -.  y  e.  y )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  -.  y  e.  y )
31 disjsn 3832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  y )
3230, 31sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  i^i  { y } )  =  (/) )
33 eloni 4555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  y  e.  On  ->  Ord 
suc  y )
34 ordirr 4563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
suc  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  On  ->  -. 
suc  y  e.  suc  y )
36 sucelon 4760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  <->  suc  y  e.  On )
37 disjsn 3832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) 
<->  -.  suc  y  e. 
suc  y )
3835, 36, 373imtr4i 258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) )
3932, 38jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )
40 unen 7152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  ( y  u. 
{ y } ) 
~~  ( suc  y  u.  { suc  y } ) )
41 df-suc 4551 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
42 df-suc 4551 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  suc  y  =  ( suc  y  u.  { suc  y } )
4340, 41, 423brtr4g 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y )
4443ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i 
{ suc  y }
)  =  (/) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4539, 44syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4627, 45mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( y 
~~  suc  y  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4746com12 29 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4847ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  y
)  ->  ( y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y
) )
49 vex 2923 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
50 limensuc 7247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5149, 50mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  ~~  suc  x )
5251ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5352a1d 23 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( om  C_  y  ->  y 
~~  suc  y )  ->  x  ~~  suc  x
) )
5412, 15, 18, 21, 23, 48, 53tfindsg 4803 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  A
)  ->  A  ~~  suc  A )
5554exp31 588 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5655com23 74 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5756imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) )
589, 57mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   _Vcvv 2920    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   {csn 3778   class class class wbr 4176   Ord word 4544   Oncon0 4545   Lim wlim 4546   suc csuc 4547   omcom 4808    ~~ cen 7069
This theorem is referenced by:  cardlim  7819  cardsucinf  7831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-1o 6687  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074
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