Theorem infensuc 4610

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88.

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ((A e. On /\ om (_ A) -> A ~~ suc A)

Proof of Theorem infensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4601	. 2 |- om e. On
2		id 59	. . . 4 |- (x = om -> x = om)
3		suceq 3024	. . . 4 |- (x = om -> suc x = suc om)
4	2, 3	breq12d 2621	. . 3 |- (x = om -> (x ~~ suc x <-> om ~~ suc om))
5		id 59	. . . 4 |- (x = y -> x = y)
6		suceq 3024	. . . 4 |- (x = y -> suc x = suc y)
7	5, 6	breq12d 2621	. . 3 |- (x = y -> (x ~~ suc x <-> y ~~ suc y))
8		id 59	. . . 4 |- (x = suc y -> x = suc y)
9		suceq 3024	. . . 4 |- (x = suc y -> suc x = suc suc y)
10	8, 9	breq12d 2621	. . 3 |- (x = suc y -> (x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y))
11		id 59	. . . 4 |- (x = A -> x = A)
12		suceq 3024	. . . 4 |- (x = A -> suc x = suc A)
13	11, 12	breq12d 2621	. . 3 |- (x = A -> (x ~~ suc x <-> A ~~ suc A))
14		omensuc 4609	. . . 4 |- om ~~ suc om
15	14	a1i 8	. . 3 |- (om e. On -> om ~~ suc om)
16		visset 1804	. . . . . . 7 |- y e. V
17	16	sucex 3040	. . . . . . 7 |- suc y e. V
18		en2sn 4412	. . . . . . 7 |- ((y e. V /\ suc y e. V) -> {y} ~~ {suc y})
19	16, 17, 18	mp2an 695	. . . . . 6 |- {y} ~~ {suc y}
20		unen 4414	. . . . . . . . 9 |- (((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) /\ ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/))) -> (y u. {y}) ~~ (suc y u. {suc y}))
21		df-suc 2944	. . . . . . . . 9 |- suc y = (y u. {y})
22		df-suc 2944	. . . . . . . . 9 |- suc suc y = (suc y u. {suc y})
23	20, 21, 22	3brtr4g 2637	. . . . . . . 8 |- (((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) /\ ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/))) -> suc y ~~ suc suc y)
24	23	ex 373	. . . . . . 7 |- ((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) -> (((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/)) -> suc y ~~ suc suc y))
25		eloni 2948	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> Ord y)
26		ordirr 2956	. . . . . . . . . 10 |- (Ord y -> -. y e. y)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> -. y e. y)
28		disjsn 2431	. . . . . . . . 9 |- ((y i^i {y}) = (/) <-> -. y e. y)
29	27, 28	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> (y i^i {y}) = (/))
30		eloni 2948	. . . . . . . . . 10 |- (suc y e. On -> Ord suc y)
31		ordirr 2956	. . . . . . . . . 10 |- (Ord suc y -> -. suc y e. suc y)
32	30, 31	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (suc y e. On -> -. suc y e. suc y)
33		sucelon 3058	. . . . . . . . 9 |- (y e. On <-> suc y e. On)
34		disjsn 2431	. . . . . . . . 9 |- ((suc y i^i {suc y}) = (/) <-> -. suc y e. suc y)
35	32, 33, 34	3imtr4 219	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> (suc y i^i {suc y}) = (/))
36	29, 35	jca 288	. . . . . . 7 |- (y e. On -> ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/)))
37	24, 36	syl5 21	. . . . . 6 |- ((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) -> (y e. On -> suc y ~~ suc suc y))
38	19, 37	mpan2 694	. . . . 5 |- (y ~~ suc y -> (y e. On -> suc y ~~ suc suc y))
39	38	com12 11	. . . 4 |- (y e. On -> (y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y))
40	39	ad2antrr 404	. . 3 |- (((y e. On /\ om e. On) /\ om (_ y) -> (y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y))
41		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
42		limensuc 4487	. . . . . 6 |- ((x e. V /\ Lim x) -> x ~~ suc x)
43	41, 42	mpan 693	. . . . 5 |- (Lim x -> x ~~ suc x)
44	43	ad2antrr 404	. . . 4 |- (((Lim x /\ om e. On) /\ om (_ x) -> x ~~ suc x)
45	44	a1d 12	. . 3 |- (((Lim x /\ om e. On) /\ om (_ x) -> (A.y e. x (om (_ y -> y ~~ suc y) -> x ~~ suc x))
46	4, 7, 10, 13, 15, 40, 45	tfindsg 3152	. 2 |- (((A e. On /\ om e. On) /\ om (_ A) -> A ~~ suc A)
47	1, 46	mpanl2 705	1 |- ((A e. On /\ om (_ A) -> A ~~ suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802   u. cun 2035   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270  {csn 2399   class class class wbr 2609  Ord word 2937  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  suc csuc 2940  omcom 3121   ~~ cen 4348

This theorem is referenced by:  cardlim 4823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-1o 4117  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352

Copyright terms: Public domain