Theorem infensuc 4784

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88.

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ((A e. On /\ om (_ A) -> A ~~ suc A)

Proof of Theorem infensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4775	. 2 |- om e. On
2		id 59	. . . 4 |- (x = om -> x = om)
3		suceq 3038	. . . 4 |- (x = om -> suc x = suc om)
4	2, 3	breq12d 2704	. . 3 |- (x = om -> (x ~~ suc x <-> om ~~ suc om))
5		id 59	. . . 4 |- (x = y -> x = y)
6		suceq 3038	. . . 4 |- (x = y -> suc x = suc y)
7	5, 6	breq12d 2704	. . 3 |- (x = y -> (x ~~ suc x <-> y ~~ suc y))
8		id 59	. . . 4 |- (x = suc y -> x = suc y)
9		suceq 3038	. . . 4 |- (x = suc y -> suc x = suc suc y)
10	8, 9	breq12d 2704	. . 3 |- (x = suc y -> (x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y))
11		id 59	. . . 4 |- (x = A -> x = A)
12		suceq 3038	. . . 4 |- (x = A -> suc x = suc A)
13	11, 12	breq12d 2704	. . 3 |- (x = A -> (x ~~ suc x <-> A ~~ suc A))
14		omensuc 4783	. . . 4 |- om ~~ suc om
15	14	a1i 8	. . 3 |- (om e. On -> om ~~ suc om)
16		visset 1859	. . . . . . 7 |- y e. V
17	16	sucex 3168	. . . . . . 7 |- suc y e. V
18		en2sn 4572	. . . . . . 7 |- ((y e. V /\ suc y e. V) -> {y} ~~ {suc y})
19	16, 17, 18	mp2an 701	. . . . . 6 |- {y} ~~ {suc y}
20		unen 4575	. . . . . . . . 9 |- (((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) /\ ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/))) -> (y u. {y}) ~~ (suc y u. {suc y}))
21		df-suc 2981	. . . . . . . . 9 |- suc y = (y u. {y})
22		df-suc 2981	. . . . . . . . 9 |- suc suc y = (suc y u. {suc y})
23	20, 21, 22	3brtr4g 2720	. . . . . . . 8 |- (((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) /\ ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/))) -> suc y ~~ suc suc y)
24	23	ex 371	. . . . . . 7 |- ((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) -> (((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/)) -> suc y ~~ suc suc y))
25		eloni 2985	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> Ord y)
26		ordirr 2993	. . . . . . . . . 10 |- (Ord y -> -. y e. y)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> -. y e. y)
28		disjsn 2502	. . . . . . . . 9 |- ((y i^i {y}) = (/) <-> -. y e. y)
29	27, 28	sylibr 198	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> (y i^i {y}) = (/))
30		eloni 2985	. . . . . . . . . 10 |- (suc y e. On -> Ord suc y)
31		ordirr 2993	. . . . . . . . . 10 |- (Ord suc y -> -. suc y e. suc y)
32	30, 31	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (suc y e. On -> -. suc y e. suc y)
33		sucelon 3174	. . . . . . . . 9 |- (y e. On <-> suc y e. On)
34		disjsn 2502	. . . . . . . . 9 |- ((suc y i^i {suc y}) = (/) <-> -. suc y e. suc y)
35	32, 33, 34	3imtr4i 217	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> (suc y i^i {suc y}) = (/))
36	29, 35	jca 286	. . . . . . 7 |- (y e. On -> ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/)))
37	24, 36	syl5 21	. . . . . 6 |- ((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) -> (y e. On -> suc y ~~ suc suc y))
38	19, 37	mpan2 700	. . . . 5 |- (y ~~ suc y -> (y e. On -> suc y ~~ suc suc y))
39	38	com12 11	. . . 4 |- (y e. On -> (y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y))
40	39	ad2antrr 404	. . 3 |- (((y e. On /\ om e. On) /\ om (_ y) -> (y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y))
41		visset 1859	. . . . . 6 |- x e. V
42		limensuc 4654	. . . . . 6 |- ((x e. V /\ Lim x) -> x ~~ suc x)
43	41, 42	mpan 699	. . . . 5 |- (Lim x -> x ~~ suc x)
44	43	ad2antrr 404	. . . 4 |- (((Lim x /\ om e. On) /\ om (_ x) -> x ~~ suc x)
45	44	a1d 12	. . 3 |- (((Lim x /\ om e. On) /\ om (_ x) -> (A.y e. x (om (_ y -> y ~~ suc y) -> x ~~ suc x))
46	4, 7, 10, 13, 15, 40, 45	tfindsg 3213	. 2 |- (((A e. On /\ om e. On) /\ om (_ A) -> A ~~ suc A)
47	1, 46	mpanl2 711	1 |- ((A e. On /\ om (_ A) -> A ~~ suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  Vcvv 1857   u. cun 2097   i^i cin 2098   (_ wss 2099  (/)c0 2332  {csn 2467   class class class wbr 2692  Ord word 2974  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  suc csuc 2977  omcom 3218   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  cardsucinf 4991  cardlim 5001  omsublim 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-1o 4269  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510

Copyright terms: Public domain