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Theorem infensuc 6993
Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
infensuc  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem infensuc
StepHypRef Expression
1 onprc 4534 . . . . 5  |-  -.  On  e.  _V
2 eleq1 2316 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( om  e.  _V  <->  On  e.  _V ) )
31, 2mtbiri 296 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  -.  om  e.  _V )
4 ssexg 4120 . . . . 5  |-  ( ( om  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  om  e.  _V )
54ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  _V )
63, 5nsyl3 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  -.  om  =  On )
7 omon 4625 . . . 4  |-  ( om  e.  On  \/  om  =  On )
87ori 366 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  On  ->  om  =  On )
96, 8nsyl2 121 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  On )
10 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  x  =  om )
11 suceq 4415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  suc  x  =  suc  om )
1210, 11breq12d 3996 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  om  ~~  suc  om ) )
13 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 suceq 4415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1513, 14breq12d 3996 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  y  ~~  suc  y ) )
16 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
17 suceq 4415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1816, 17breq12d 3996 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  ~~  suc  x 
<->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
19 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
20 suceq 4415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
2119, 20breq12d 3996 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  A  ~~  suc  A ) )
22 limom 4629 . . . . . . 7  |-  Lim  om
2322limensuci 6991 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  ~~  suc  om )
24 vex 2760 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2524sucex 4560 . . . . . . . . . 10  |-  suc  y  e.  _V
26 en2sn 6894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  suc  y  e.  _V )  ->  { y } 
~~  { suc  y } )
2724, 25, 26mp2an 656 . . . . . . . . 9  |-  { y }  ~~  { suc  y }
28 eloni 4360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
29 ordirr 4368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  y  ->  -.  y  e.  y )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  -.  y  e.  y )
31 disjsn 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  y )
3230, 31sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  i^i  { y } )  =  (/) )
33 eloni 4360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  y  e.  On  ->  Ord 
suc  y )
34 ordirr 4368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
suc  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  On  ->  -. 
suc  y  e.  suc  y )
36 sucelon 4566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  <->  suc  y  e.  On )
37 disjsn 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) 
<->  -.  suc  y  e. 
suc  y )
3835, 36, 373imtr4i 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) )
3932, 38jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )
40 unen 6897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  ( y  u. 
{ y } ) 
~~  ( suc  y  u.  { suc  y } ) )
41 df-suc 4356 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
42 df-suc 4356 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  suc  y  =  ( suc  y  u.  { suc  y } )
4340, 41, 423brtr4g 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y )
4443ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i 
{ suc  y }
)  =  (/) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4539, 44syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4627, 45mpan2 655 . . . . . . . 8  |-  ( y 
~~  suc  y  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4746com12 29 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4847ad2antrr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  y
)  ->  ( y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y
) )
49 vex 2760 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
50 limensuc 6992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5149, 50mpan 654 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  ~~  suc  x )
5251ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5352a1d 24 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( om  C_  y  ->  y 
~~  suc  y )  ->  x  ~~  suc  x
) )
5412, 15, 18, 21, 23, 48, 53tfindsg 4609 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  A
)  ->  A  ~~  suc  A )
5554exp31 590 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5655com23 74 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5756imp 420 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) )
589, 57mpd 16 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2757    u. cun 3111    i^i cin 3112    C_ wss 3113   (/)c0 3416   {csn 3600   class class class wbr 3983   Ord word 4349   Oncon0 4350   Lim wlim 4351   suc csuc 4352   omcom 4614    ~~ cen 6814
This theorem is referenced by:  cardlim  7559  cardsucinf  7571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-1o 6433  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819
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