MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infi Structured version   Unicode version

Theorem infi 7333
Description: The interection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
infi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem infi
StepHypRef Expression
1 inss1 3562 . 2  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
2 ssfi 7330 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 654 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726    i^i cin 3320    C_ wss 3321   Fincfn 7110
This theorem is referenced by:  rabfi  7334  fin23lem22  8208  ballotlemgun  24783  resfnfinfin  28087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-er 6906  df-en 7111  df-fin 7114
  Copyright terms: Public domain W3C validator