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Theorem infil 17560
Description: The intersection of two filters is a filter. Use fiint 7135 to extend this property to the intersection of a finite set of filters. Paragraph 3 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 17-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
infil  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  i^i  G )  e.  ( Fil `  X
) )

Proof of Theorem infil
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3391 . . . 4  |-  ( F  i^i  G )  C_  F
2 filsspw 17548 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  F  C_ 
~P X )
41, 3syl5ss 3192 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  i^i  G )  C_  ~P X )
5 0nelfil 17546 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  -.  (/) 
e.  F )
71sseli 3178 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( F  i^i  G
)  ->  (/)  e.  F
)
86, 7nsyl 113 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  -.  (/) 
e.  ( F  i^i  G ) )
9 filtop 17552 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  X  e.  F )
11 filtop 17552 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  G )
1211adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  X  e.  G )
13 elin 3360 . . . 4  |-  ( X  e.  ( F  i^i  G )  <->  ( X  e.  F  /\  X  e.  G ) )
1410, 12, 13sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  X  e.  ( F  i^i  G
) )
154, 8, 143jca 1132 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( F  i^i  G
)  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  ( F  i^i  G )  /\  X  e.  ( F  i^i  G ) ) )
16 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
17 simpr2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  ( F  i^i  G ) )
181sseli 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( F  i^i  G )  ->  y  e.  F )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  F )
20 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  ~P X
)
21 elpwi 3635 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2220, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  C_  X )
23 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
24 filss 17550 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
2516, 19, 22, 23, 24syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
26 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
27 inss2 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  i^i  G )  C_  G
2827sseli 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( F  i^i  G )  ->  y  e.  G )
2917, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  G )
30 filss 17550 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  G  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  G )
3126, 29, 22, 23, 30syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  G )
32 elin 3360 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( F  i^i  G )  <->  ( x  e.  F  /\  x  e.  G ) )
3325, 31, 32sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ~P X  /\  y  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  ( F  i^i  G ) )
34333exp2 1169 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ~P X  ->  ( y  e.  ( F  i^i  G )  ->  ( y  C_  x  ->  x  e.  ( F  i^i  G ) ) ) ) )
3534imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e. 
~P X )  -> 
( y  e.  ( F  i^i  G )  ->  ( y  C_  x  ->  x  e.  ( F  i^i  G ) ) ) )
3635rexlimdv 2668 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e. 
~P X )  -> 
( E. y  e.  ( F  i^i  G
) y  C_  x  ->  x  e.  ( F  i^i  G ) ) )
3736ralrimiva 2628 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  ( F  i^i  G ) y 
C_  x  ->  x  e.  ( F  i^i  G
) ) )
38 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
391sseli 3178 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F  i^i  G )  ->  x  e.  F )
4039, 18anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  e.  ( F  i^i  G ) )  -> 
( x  e.  F  /\  y  e.  F
) )
41 filin 17551 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  F )
42413expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  F
)
4338, 40, 42syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  e.  ( F  i^i  G
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  F )
44 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  G  e.  ( Fil `  X
) )
4527sseli 3178 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F  i^i  G )  ->  x  e.  G )
4645, 28anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  e.  ( F  i^i  G ) )  -> 
( x  e.  G  /\  y  e.  G
) )
47 filin 17551 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  G  /\  y  e.  G )  ->  (
x  i^i  y )  e.  G )
48473expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  G  /\  y  e.  G )
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  G
)
4944, 46, 48syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  e.  ( F  i^i  G
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  G )
50 elin 3360 . . . 4  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( F  i^i  G )  <->  ( ( x  i^i  y )  e.  F  /\  ( x  i^i  y )  e.  G ) )
5143, 49, 50sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( x  e.  ( F  i^i  G )  /\  y  e.  ( F  i^i  G
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( F  i^i  G ) )
5251ralrimivva 2637 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  A. x  e.  ( F  i^i  G
) A. y  e.  ( F  i^i  G
) ( x  i^i  y )  e.  ( F  i^i  G ) )
53 isfil2 17553 . 2  |-  ( ( F  i^i  G )  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( ( F  i^i  G ) 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  ( F  i^i  G )  /\  X  e.  ( F  i^i  G
) )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  ( F  i^i  G
) y  C_  x  ->  x  e.  ( F  i^i  G ) )  /\  A. x  e.  ( F  i^i  G
) A. y  e.  ( F  i^i  G
) ( x  i^i  y )  e.  ( F  i^i  G ) ) )
5415, 37, 52, 53syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  i^i  G )  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   ` cfv 5257   Filcfil 17542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fv 5265  df-fbas 17522  df-fil 17543
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