MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap Unicode version

Theorem infmap 8407
Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  ~<_  A )  ->  ( A  ^m  B )  ~~  { x  |  ( x 
C_  A  /\  x  ~~  B ) } )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infmap
StepHypRef Expression
1 ovex 6065 . . 3  |-  ( A  ^m  B )  e. 
_V
2 numth3 8306 . . 3  |-  ( ( A  ^m  B )  e.  _V  ->  ( A  ^m  B )  e. 
dom  card )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( A  ^m  B )  e. 
dom  card
4 infmap2 8054 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  ~<_  A  /\  ( A  ^m  B )  e.  dom  card )  ->  ( A  ^m  B )  ~~  {
x  |  ( x 
C_  A  /\  x  ~~  B ) } )
53, 4mp3an3 1268 1  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  ~<_  A )  ->  ( A  ^m  B )  ~~  { x  |  ( x 
C_  A  /\  x  ~~  B ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   {cab 2390   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   omcom 4804   dom cdm 4837  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  alephexp2  8412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953
  Copyright terms: Public domain W3C validator