Theorem infmap1 7524

Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Exercise 34 of [Enderton] p. 165.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. V
infunabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
infmap1	|- (((2o ~<_ A /\ om ~<_ B) /\ A ~<_ B) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))

Proof of Theorem infmap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 4443	. . 3 |- (((A ^m B) ~<_ (2o ^m B) /\ (2o ^m B) ~<_ (A ^m B)) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))
2		domtr 4402	. . . 4 |- (((A ^m B) ~<_ (B ^m B) /\ (B ^m B) ~<_ (2o ^m B)) -> (A ^m B) ~<_ (2o ^m B))
3		infunabs.1	. . . . 5 |- A e. V
4		infunabs.2	. . . . 5 |- B e. V
5	3, 4, 4	mapdom1 4478	. . . 4 |- (A ~<_ B -> (A ^m B) ~<_ (B ^m B))
6	4	infxpidm 7515	. . . . 5 |- (om ~<_ B -> (B X. B) ~~ B)
7		2on 4129	. . . . . . . 8 |- 2o e. On
8	7	elisseti 1814	. . . . . . 7 |- 2o e. V
9	8	enref 4378	. . . . . 6 |- 2o ~~ 2o
10	4, 4	xpex 3255	. . . . . . 7 |- (B X. B) e. V
11	8, 8, 10, 4	mapen 4477	. . . . . 6 |- ((2o ~~ 2o /\ (B X. B) ~~ B) -> (2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B))
12	9, 11	mpan 694	. . . . 5 |- ((B X. B) ~~ B -> (2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B))
13	4	canth2 4470	. . . . . . . . . 10 |- B ~< P~B
14		sdomdom 4373	. . . . . . . . . 10 |- (B ~< P~B -> B ~<_ P~B)
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- B ~<_ P~B
16	4	pw2en 4432	. . . . . . . . 9 |- P~B ~~ (2o ^m B)
17		domentr 4408	. . . . . . . . 9 |- ((B ~<_ P~B /\ P~B ~~ (2o ^m B)) -> B ~<_ (2o ^m B))
18	15, 16, 17	mp2an 696	. . . . . . . 8 |- B ~<_ (2o ^m B)
19		oprex 3974	. . . . . . . . 9 |- (2o ^m B) e. V
20	4, 19, 4	mapdom1 4478	. . . . . . . 8 |- (B ~<_ (2o ^m B) -> (B ^m B) ~<_ ((2o ^m B) ^m B))
21	18, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (B ^m B) ~<_ ((2o ^m B) ^m B)
22	8, 4, 4	mapxpen 4481	. . . . . . 7 |- ((2o ^m B) ^m B) ~~ (2o ^m (B X. B))
23		domentr 4408	. . . . . . 7 |- (((B ^m B) ~<_ ((2o ^m B) ^m B) /\ ((2o ^m B) ^m B) ~~ (2o ^m (B X. B))) -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m (B X. B)))
24	21, 22, 23	mp2an 696	. . . . . 6 |- (B ^m B) ~<_ (2o ^m (B X. B))
25		domentr 4408	. . . . . 6 |- (((B ^m B) ~<_ (2o ^m (B X. B)) /\ (2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B)) -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m B))
26	24, 25	mpan 694	. . . . 5 |- ((2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B) -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m B))
27	6, 12, 26	3syl 20	. . . 4 |- (om ~<_ B -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m B))
28	2, 5, 27	syl2an 454	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ om ~<_ B) -> (A ^m B) ~<_ (2o ^m B))
29	8, 3, 4	mapdom1 4478	. . 3 |- (2o ~<_ A -> (2o ^m B) ~<_ (A ^m B))
30	1, 28, 29	syl2an 454	. 2 |- (((A ~<_ B /\ om ~<_ B) /\ 2o ~<_ A) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))
31	30	ancom31s 491	1 |- (((2o ~<_ A /\ om ~<_ B) /\ A ~<_ B) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956  Vcvv 1807  P~cpw 2397   class class class wbr 2614  Oncon0 2943  omcom 3126   X. cxp 3163  (class class class)co 3954  2oc2o 4119   ^m cm 4312   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  alephexp1 7534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-iso 3194  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-2o 4124  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain