Theorem infmap1 7785

Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Exercise 34 of [Enderton] p. 165.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. V
infunabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
infmap1	|- (((2o ~<_ A /\ om ~<_ B) /\ A ~<_ B) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))

Proof of Theorem infmap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 4602	. . 3 |- (((A ^m B) ~<_ (2o ^m B) /\ (2o ^m B) ~<_ (A ^m B)) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))
2		domtr 4556	. . . 4 |- (((A ^m B) ~<_ (B ^m B) /\ (B ^m B) ~<_ (2o ^m B)) -> (A ^m B) ~<_ (2o ^m B))
3		infunabs.1	. . . . 5 |- A e. V
4		infunabs.2	. . . . 5 |- B e. V
5	3, 4, 4	mapdom1 4639	. . . 4 |- (A ~<_ B -> (A ^m B) ~<_ (B ^m B))
6	4	infxpidm 7776	. . . . 5 |- (om ~<_ B -> (B X. B) ~~ B)
7		2on 4275	. . . . . . . 8 |- 2o e. On
8	7	elisseti 1864	. . . . . . 7 |- 2o e. V
9	8	enref 4532	. . . . . 6 |- 2o ~~ 2o
10	4, 4	xpex 3349	. . . . . . 7 |- (B X. B) e. V
11	8, 8, 10, 4	mapen 4638	. . . . . 6 |- ((2o ~~ 2o /\ (B X. B) ~~ B) -> (2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B))
12	9, 11	mpan 699	. . . . 5 |- ((B X. B) ~~ B -> (2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B))
13	4	canth2 4629	. . . . . . . . . 10 |- B ~< P~B
14		sdomdom 4527	. . . . . . . . . 10 |- (B ~< P~B -> B ~<_ P~B)
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- B ~<_ P~B
16	4	pw2en 4587	. . . . . . . . 9 |- P~B ~~ (2o ^m B)
17		domentr 4562	. . . . . . . . 9 |- ((B ~<_ P~B /\ P~B ~~ (2o ^m B)) -> B ~<_ (2o ^m B))
18	15, 16, 17	mp2an 701	. . . . . . . 8 |- B ~<_ (2o ^m B)
19		oprex 4041	. . . . . . . . 9 |- (2o ^m B) e. V
20	4, 19, 4	mapdom1 4639	. . . . . . . 8 |- (B ~<_ (2o ^m B) -> (B ^m B) ~<_ ((2o ^m B) ^m B))
21	18, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (B ^m B) ~<_ ((2o ^m B) ^m B)
22	8, 4, 4	mapxpen 4642	. . . . . . 7 |- ((2o ^m B) ^m B) ~~ (2o ^m (B X. B))
23		domentr 4562	. . . . . . 7 |- (((B ^m B) ~<_ ((2o ^m B) ^m B) /\ ((2o ^m B) ^m B) ~~ (2o ^m (B X. B))) -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m (B X. B)))
24	21, 22, 23	mp2an 701	. . . . . 6 |- (B ^m B) ~<_ (2o ^m (B X. B))
25		domentr 4562	. . . . . 6 |- (((B ^m B) ~<_ (2o ^m (B X. B)) /\ (2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B)) -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m B))
26	24, 25	mpan 699	. . . . 5 |- ((2o ^m (B X. B)) ~~ (2o ^m B) -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m B))
27	6, 12, 26	3syl 20	. . . 4 |- (om ~<_ B -> (B ^m B) ~<_ (2o ^m B))
28	2, 5, 27	syl2an 456	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ om ~<_ B) -> (A ^m B) ~<_ (2o ^m B))
29	8, 3, 4	mapdom1 4639	. . 3 |- (2o ~<_ A -> (2o ^m B) ~<_ (A ^m B))
30	1, 28, 29	syl2an 456	. 2 |- (((A ~<_ B /\ om ~<_ B) /\ 2o ~<_ A) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))
31	30	ancom31s 494	1 |- (((2o ~<_ A /\ om ~<_ B) /\ A ~<_ B) -> (A ^m B) ~~ (2o ^m B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994  Vcvv 1857  P~cpw 2458   class class class wbr 2692  Oncon0 2975  omcom 3218   X. cxp 3249  (class class class)co 4021  2oc2o 4265   ^m cm 4463   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507

This theorem is referenced by:  alephexp1 7796

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-iso 3280  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-2o 4270  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-map 4465  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512  df-card 4962  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764

Copyright terms: Public domain