Theorem infmap2lem1 7791

Description: Lemma for infmap2 7793. Technical result that is used several times.

Hypotheses

Ref	Expression
infmap2lem.1	|- A e. V
infmap2lem.2	|- B e. V
infmap2lem.3	|- R = {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}

Assertion

Ref	Expression
infmap2lem1	|- ((f (_ R /\ f Fn dom R) -> (v e. {x | (x (_ A /\ x ~~ B)} -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))

Distinct variable groups:   x,z,w,v,f,A   x,B,z,w,f,v   v,R,f

Proof of Theorem infmap2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2115	. . . . 5 |- (f (_ R -> (<.v, (f` v)>. e. f -> <.v, (f` v)>. e. R))
2		infmap2lem.3	. . . . . . . 8 |- R = {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}
3	2	eleq2i 1581	. . . . . . 7 |- (<.v, (f` v)>. e. R <-> <.v, (f` v)>. e. {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)})
4		visset 1859	. . . . . . . 8 |- v e. V
5		fvex 3843	. . . . . . . 8 |- (f` v) e. V
6		sseq1 2134	. . . . . . . . . 10 |- (z = v -> (z (_ A <-> v (_ A))
7		breq1 2695	. . . . . . . . . 10 |- (z = v -> (z ~~ B <-> v ~~ B))
8	6, 7	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 |- (z = v -> ((z (_ A /\ z ~~ B) <-> (v (_ A /\ v ~~ B)))
9		foeq3 3777	. . . . . . . . 9 |- (z = v -> (w:B-onto->z <-> w:B-onto->v))
10	8, 9	anbi12d 631	. . . . . . . 8 |- (z = v -> (((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z) <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ w:B-onto->v)))
11		foeq1 3775	. . . . . . . . 9 |- (w = (f` v) -> (w:B-onto->v <-> (f` v):B-onto->v))
12	11	anbi2d 619	. . . . . . . 8 |- (w = (f` v) -> (((v (_ A /\ v ~~ B) /\ w:B-onto->v) <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v)))
13	4, 5, 10, 12	opelopab 2897	. . . . . . 7 |- (<.v, (f` v)>. e. {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)} <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v))
14	3, 13	bitri 171	. . . . . 6 |- (<.v, (f` v)>. e. R <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v))
15		pm3.26 317	. . . . . . 7 |- ((v (_ A /\ v ~~ B) -> v (_ A)
16	15	anim1i 332	. . . . . 6 |- (((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v) -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v))
17	14, 16	sylbi 197	. . . . 5 |- (<.v, (f` v)>. e. R -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v))
18	1, 17	syl6 22	. . . 4 |- (f (_ R -> (<.v, (f` v)>. e. f -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))
19		fnopfv 3925	. . . 4 |- ((f Fn dom R /\ v e. dom R) -> <.v, (f` v)>. e. f)
20	18, 19	syl5 21	. . 3 |- (f (_ R -> ((f Fn dom R /\ v e. dom R) -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))
21	20	expdimp 375	. 2 |- ((f (_ R /\ f Fn dom R) -> (v e. dom R -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))
22	2	dmeqi 3403	. . . . 5 |- dom R = dom {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}
23		dmopab 3411	. . . . 5 |- dom {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)} = {z | E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}
24		anass 441	. . . . . . 7 |- (((z (_ A /\ z ~~ B) /\ E.w w:B-onto->z) <-> (z (_ A /\ (z ~~ B /\ E.w w:B-onto->z)))
25		19.42v 1346	. . . . . . 7 |- (E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z) <-> ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ E.w w:B-onto->z))
26		infmap2lem.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
27	26	ensym 4553	. . . . . . . . . 10 |- (z ~~ B -> B ~~ z)
28		visset 1859	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
29	28	bren 4518	. . . . . . . . . . 11 |- (B ~~ z <-> E.w w:B-1-1-onto->z)
30		f1ofo 3803	. . . . . . . . . . . 12 |- (w:B-1-1-onto->z -> w:B-onto->z)
31	30	19.22i 1076	. . . . . . . . . . 11 |- (E.w w:B-1-1-onto->z -> E.w w:B-onto->z)
32	29, 31	sylbi 197	. . . . . . . . . 10 |- (B ~~ z -> E.w w:B-onto->z)
33	27, 32	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z ~~ B -> E.w w:B-onto->z)
34	33	pm4.71i 640	. . . . . . . 8 |- (z ~~ B <-> (z ~~ B /\ E.w w:B-onto->z))
35	34	anbi2i 483	. . . . . . 7 |- ((z (_ A /\ z ~~ B) <-> (z (_ A /\ (z ~~ B /\ E.w w:B-onto->z)))
36	24, 25, 35	3bitr4i 181	. . . . . 6 |- (E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z) <-> (z (_ A /\ z ~~ B))
37	36	abbii 1618	. . . . 5 |- {z | E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)} = {z | (z (_ A /\ z ~~ B)}
38	22, 23, 37	3eqtri 1542	. . . 4 |- dom R = {z | (z (_ A /\ z ~~ B)}
39		sseq1 2134	. . . . . 6 |- (z = x -> (z (_ A <-> x (_ A))
40		breq1 2695	. . . . . 6 |- (z = x -> (z ~~ B <-> x ~~ B))
41	39, 40	anbi12d 631	. . . . 5 |- (z = x -> ((z (_ A /\ z ~~ B) <-> (x (_ A /\ x ~~ B)))
42	41	cbvabv 1955	. . . 4 |- {z | (z (_ A /\ z ~~ B)} = {x | (x (_ A /\ x ~~ B)}
43	38, 42	eqtri 1538	. . 3 |- dom R = {x | (x (_ A /\ x ~~ B)}
44	43	eleq2i 1581	. 2 |- (v e. dom R <-> v e. {x | (x (_ A /\ x ~~ B)})
45	21, 44	syl5ibr 205	1 |- ((f (_ R /\ f Fn dom R) -> (v e. {x | (x (_ A /\ x ~~ B)} -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  {cab 1505  Vcvv 1857   (_ wss 2099  <.cop 2469   class class class wbr 2692  {copab 2740  dom cdm 3251   Fn wfn 3258  -onto->wfo 3261  -1-1-onto->wf1o 3262  ` cfv 3263   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  infmap2lem2 7792

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-er 4401  df-en 4509

Copyright terms: Public domain