Theorem infmrcl 6016

Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals.

Assertion

Ref	Expression
infmrcl	|- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem infmrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmsup 6015	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ))
2		ssrab2 2121	. . . . 5 |- {v e. RR | -uv e. A} (_ RR
3		suprcl 6002	. . . . 5 |- (({v e. RR | -uv e. A} (_ RR /\ {v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
4	2, 3	mp3an1 900	. . . 4 |- (({v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
5		ssel 2053	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
6		renegclt 5409	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> -uz e. RR)
7	5, 6	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -uz e. RR))
8		ssel2 2054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
9		recnt 5285	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. RR -> z e. CC)
10		negnegt 5365	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. CC -> -u-uz = z)
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz = z)
12		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. A)
13	11, 12	eqeltrd 1540	. . . . . . . . . . 11 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz e. A)
14	13	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -u-uz e. A))
15	7, 14	jcad 598	. . . . . . . . 9 |- (A (_ RR -> (z e. A -> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A)))
16		negeq 5331	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = -uz -> -uv = -u-uz)
17	16	eleq1d 1532	. . . . . . . . . . 11 |- (v = -uz -> (-uv e. A <-> -u-uz e. A))
18	17	elrab 1896	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A))
19		ne0i 2276	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
20	18, 19	sylbir 201	. . . . . . . . 9 |- ((-uz e. RR /\ -u-uz e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
21	15, 20	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR -> (z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
22	21	19.23adv 1209	. . . . . . 7 |- (A (_ RR -> (E.z z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
23	22	imp 350	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ E.z z e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
24		ne0 2278	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
25	23, 24	sylan2b 452	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
26	25	3adant3 797	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
27		breq2 2613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uw -> (x <_ y <-> x <_ -uw))
28	27	rcla4va 1866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uw e. A /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
29	28	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. RR /\ -uw e. A) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
30	29	adantll 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
31		lenegcon2t 5632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
32	31	adantrr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
33	32	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
34	30, 33	mpbid 195	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> w <_ -ux)
35	34	exp31 376	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> ((w e. RR /\ -uw e. A) -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
36		negeq 5331	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = w -> -uv = -uw)
37	36	eleq1d 1532	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> (-uv e. A <-> -uw e. A))
38	37	elrab 1896	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (w e. RR /\ -uw e. A))
39	35, 38	syl5ib 206	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
40	39	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> w <_ -ux)))
41	40	r19.21adv 1710	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
42		renegclt 5409	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
43	41, 42	jctild 599	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux)))
44		breq2 2613	. . . . . . . . 9 |- (z = -ux -> (w <_ z <-> w <_ -ux))
45	44	ralbidv 1655	. . . . . . . 8 |- (z = -ux -> (A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z <-> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
46	45	rcla4ev 1868	. . . . . . 7 |- ((-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
47	43, 46	syl6 22	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z))
48	47	r19.23aiv 1735	. . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
49	48	3ad2ant3 800	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
50	4, 26, 49	sylanc 471	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
51		renegclt 5409	. . 3 |- (sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
52	50, 51	syl 10	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
53	1, 52	eqeltrd 1540	1 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  `'ccnv 3159  supcsup 4547  CCcc 5204  RRcr 5205  -ucneg 5265   <_ cle 5267   < clt 5458

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain