Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infmrgelbi Unicode version

Theorem infmrgelbi 26374
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum, one-direction version. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelbi  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infmrgelbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A. x  e.  A  B  <_  x )
2 simpl1 958 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  C_  RR )
3 simpl2 959 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  =/=  (/) )
4 breq1 4027 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  B  <_  x ) )
54ralbidv 2564 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A. x  e.  A  z  <_  x  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
65rspcev 2885 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
763ad2antl3 1119 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
8 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  e.  RR )
9 infmrgelb 9730 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
102, 3, 7, 8, 9syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
111, 10mpbird 223 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   (/)c0 3456   class class class wbr 4024   `'ccnv 4687   supcsup 7189   RRcr 8732    < clt 8863    <_ cle 8864
This theorem is referenced by:  pellfundge  26378  pellfundglb  26381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator