Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infmrgelbi Unicode version

Theorem infmrgelbi 26831
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum, one-direction version. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelbi  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infmrgelbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A. x  e.  A  B  <_  x )
2 simpl1 960 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  C_  RR )
3 simpl2 961 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  =/=  (/) )
4 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  B  <_  x ) )
54ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A. x  e.  A  z  <_  x  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
65rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
763ad2antl3 1121 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
8 simpl3 962 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  e.  RR )
9 infmrgelb 9944 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
102, 3, 7, 8, 9syl31anc 1187 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
111, 10mpbird 224 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   supcsup 7403   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  pellfundge  26835  pellfundglb  26838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator