Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infmrgelbi Unicode version

Theorem infmrgelbi 26974
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum, one-direction version. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelbi  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infmrgelbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A. x  e.  A  B  <_  x )
2 simpl1 958 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  C_  RR )
3 simpl2 959 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  =/=  (/) )
4 breq1 4028 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  B  <_  x ) )
54ralbidv 2565 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A. x  e.  A  z  <_  x  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
65rspcev 2886 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
763ad2antl3 1119 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
8 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  e.  RR )
9 infmrgelb 9736 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
102, 3, 7, 8, 9syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
111, 10mpbird 223 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   (/)c0 3457   class class class wbr 4025   `'ccnv 4690   supcsup 7195   RRcr 8738    < clt 8869    <_ cle 8870
This theorem is referenced by:  pellfundge  26978  pellfundglb  26981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042
  Copyright terms: Public domain W3C validator