Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infmrgelbi Unicode version

Theorem infmrgelbi 26554
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum, one-direction version. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelbi  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infmrgelbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A. x  e.  A  B  <_  x )
2 simpl1 959 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  C_  RR )
3 simpl2 960 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  A  =/=  (/) )
4 breq1 4128 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  B  <_  x ) )
54ralbidv 2648 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A. x  e.  A  z  <_  x  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
65rspcev 2969 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
763ad2antl3 1120 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x
)
8 simpl3 961 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  e.  RR )
9 infmrgelb 9881 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
102, 3, 7, 8, 9syl31anc 1186 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
111, 10mpbird 223 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  B  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  B  <_  x )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   (/)c0 3543   class class class wbr 4125   `'ccnv 4791   supcsup 7340   RRcr 8883    < clt 9014    <_ cle 9015
This theorem is referenced by:  pellfundge  26558  pellfundglb  26561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187
  Copyright terms: Public domain W3C validator