MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmssuzle Unicode version

Theorem infmssuzle 10389
Description: The infimum of a subset of a set of upper integers is less than or equal to all members of the subset. Note that the " `'  < " argument turns supremum into infimum (for which we do not currently have a separate notation). (Contributed by NM, 11-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
infmssuzle  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)

Proof of Theorem infmssuzle
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3537 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2 uzwo 10370 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
31, 2sylan2 460 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
4 uzssz 10336 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5 zssre 10120 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
64, 5sstri 3264 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
7 sstr 3263 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ZZ>=
`  M )  C_  RR )  ->  S  C_  RR )
86, 7mpan2 652 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  RR )
9 lbinfmle 9796 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
1093com23 1157 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
118, 10syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
123, 11mpd3an3 1278 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   (/)c0 3531   class class class wbr 4102   `'ccnv 4767   ` cfv 5334   supcsup 7280   RRcr 8823    < clt 8954    <_ cle 8955   ZZcz 10113   ZZ>=cuz 10319
This theorem is referenced by:  zsupss  10396  uzwo3  10400  divalglem5  12687  bitsfzolem  12716  bezoutlem3  12810  odzdvds  12951  4sqlem13  13095  4sqlem17  13099  ramcl2lem  13147  ramtub  13150  odlem2  14947  gexlem2  14986  zlpirlem3  16543  ovolicc2lem4  18977  iundisj  19003  ig1peu  19655  ig1pdvds  19660  ftalem5  20420  iundisjf  23224  iundisjfi  23353  dgraaub  26676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320
  Copyright terms: Public domain W3C validator