MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmxrgelb Unicode version

Theorem infmxrgelb 10619
Description: The infimum of a set of extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmxrgelb  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem infmxrgelb
StepHypRef Expression
1 xrltso 10442 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5201 . . . . . . . 8  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 201 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or 
RR*
43a1i 12 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  `'  <  Or 
RR* )
5 xrinfmss2 10595 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  -.  y `'  <  z  /\  A. z  e.  RR*  ( z `'  <  y  ->  E. x  e.  A  z `'  <  x ) ) )
6 id 21 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A  C_  RR* )
74, 5, 6suplub2 7180 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  E. x  e.  A  B `'  <  x ) )
8 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  e.  RR* )
93supex 7182 . . . . . 6  |-  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
10 brcnvg 4850 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <  B ) )
118, 9, 10sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <  B ) )
12 vex 2766 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
13 brcnvg 4850 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  _V )  ->  ( B `'  <  x  <->  x  <  B ) )
148, 12, 13sylancl 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B `'  <  x  <->  x  <  B ) )
1514rexbidv 2539 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  A  B `'  <  x  <->  E. x  e.  A  x  <  B ) )
167, 11, 153bitr3d 276 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <  B  <->  E. x  e.  A  x  <  B ) )
1716notbid 287 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <  B  <->  -.  E. x  e.  A  x  <  B ) )
18 ralnex 2528 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  <  B  <->  -.  E. x  e.  A  x  <  B )
1917, 18syl6bbr 256 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <  B  <->  A. x  e.  A  -.  x  <  B ) )
20 id 21 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  e. 
RR* )
21 infmxrcl 10601 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
22 xrlenlt 8858 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <  B ) )
2320, 21, 22syl2anr 466 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  -. 
sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <  B ) )
24 simplr 734 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
25 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
2625sselda 3155 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
27 xrlenlt 8858 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <_  x  <->  -.  x  <  B ) )
2824, 26, 27syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  x  <->  -.  x  <  B ) )
2928ralbidva 2534 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  x  <->  A. x  e.  A  -.  x  <  B ) )
3019, 23, 293bitr4d 278 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    Or wor 4285   `'ccnv 4660   supcsup 7161   RR*cxr 8834    < clt 8835    <_ cle 8836
This theorem is referenced by:  infmxrre  10620  ixxlb  10644  limsuple  11917  limsupval2  11919  imasdsf1olem  17899  nmogelb  18187  metdsf  18314  metdsge  18315  ovolgelb  18801  ovolge0  18802  ovolsslem  18805  ovolicc2  18843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008
  Copyright terms: Public domain W3C validator