HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem infpn 9777
Description: There exist infinitely many prime numbers: for any natural number N, there exists a prime number j greater than N. (See infpn2 9778 for the equinumerosity version.)
Assertion
Ref Expression
infpn |- (N e. NN -> E.j e. NN (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j))))
Distinct variable group:   j,k,N

Proof of Theorem infpn
StepHypRef Expression
1 eqid 1961 . 2 |- ((!` N) + 1) = ((!` N) + 1)
21infpnlem2 9776 1 |- (N e. NN -> E.j e. NN (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 381   /\ wa 382   = wceq 1457   e. wcel 1459  A.wral 2170  E.wrex 2171   class class class wbr 3379  ` cfv 4020  (class class class)co 4935  1c1 7000   + caddc 7002   < clt 7111   / cdiv 7223  NNcn 7224  !cfa 8752
This theorem is referenced by:  infpn2 9778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-ext 1943  ax-rep 3465  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pow 3520  ax-pr 3544  ax-un 3814  ax-inf2 6072  ax-resscn 7053  ax-1cn 7054  ax-icn 7055  ax-addcl 7056  ax-addrcl 7057  ax-mulcl 7058  ax-mulrcl 7059  ax-mulcom 7060  ax-addass 7061  ax-mulass 7062  ax-distr 7063  ax-i2m1 7064  ax-1ne0 7065  ax-1rid 7066  ax-rnegex 7067  ax-rrecex 7068  ax-cnre 7069  ax-pre-lttri 7070  ax-pre-lttrn 7071  ax-pre-ltadd 7072  ax-pre-mulgt0 7073
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-nel 2082  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-csb 2607  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-pss 2674  df-nul 2928  df-if 3029  df-pw 3087  df-sn 3102  df-pr 3103  df-tp 3105  df-op 3106  df-uni 3235  df-iun 3307  df-br 3380  df-opab 3434  df-tr 3449  df-eprel 3627  df-id 3630  df-po 3635  df-so 3649  df-fr 3668  df-we 3684  df-ord 3700  df-on 3701  df-lim 3702  df-suc 3703  df-om 3975  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fn 4031  df-f 4032  df-f1 4033  df-fo 4034  df-f1o 4035  df-fv 4036  df-ov 4937  df-oprab 4938  df-mpt 5072  df-mpt2 5073  df-1st 5169  df-2nd 5170  df-iota 5273  df-rdg 5359  df-er 5533  df-en 5678  df-dom 5679  df-sdom 5680  df-riota 5821  df-pnf 7112  df-mnf 7113  df-xr 7114  df-ltxr 7115  df-le 7116  df-sub 7240  df-neg 7242  df-div 7466  df-n 7704  df-n0 7874  df-z 7918  df-uz 8038  df-seq 8569  df-fac 8753
Copyright terms: Public domain