HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem infpn 11442
Description: There exist infinitely many prime numbers: for any natural number  N, there exists a prime number  j greater than  N. (See infpn2 11443 for the equinumerosity version.) (Contributed by NM, 1-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
infpn  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Distinct variable group:    j, k, N

Proof of Theorem infpn
StepHypRef Expression
1 eqid 2061 . 2  |-  ( ( ! `  N )  +  1 )  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
21infpnlem2 11441 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 355    /\ wa 356    = wceq 1517    e. wcel 1519   A.wral 2271   E.wrex 2272   class class class wbr 3582   ` cfv 4264  (class class class)co 5353   1c1 8148    + caddc 8150    < clt 8264    / cdiv 8385   NNcn 8386   !cfa 10227
This theorem is referenced by:  infpn2  11443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1439  ax-6 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-8 1521  ax-11 1522  ax-13 1523  ax-14 1524  ax-17 1526  ax-12o 1559  ax-10 1573  ax-9 1579  ax-4 1586  ax-16 1772  ax-ext 2043  ax-sep 3697  ax-nul 3705  ax-pow 3741  ax-pr 3765  ax-un 4057  ax-cnex 8202  ax-resscn 8203  ax-1cn 8204  ax-icn 8205  ax-addcl 8206  ax-addrcl 8207  ax-mulcl 8208  ax-mulrcl 8209  ax-mulcom 8210  ax-addass 8211  ax-mulass 8212  ax-distr 8213  ax-i2m1 8214  ax-1ne0 8215  ax-1rid 8216  ax-rnegex 8217  ax-rrecex 8218  ax-cnre 8219  ax-pre-lttri 8220  ax-pre-lttrn 8221  ax-pre-ltadd 8222  ax-pre-mulgt0 8223
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 894  df-3an 895  df-tru 1256  df-ex 1444  df-sb 1733  df-eu 1955  df-mo 1956  df-clab 2049  df-cleq 2054  df-clel 2057  df-ne 2181  df-nel 2182  df-ral 2275  df-rex 2276  df-reu 2277  df-rab 2278  df-v 2474  df-sbc 2648  df-csb 2730  df-dif 2793  df-un 2795  df-in 2797  df-ss 2801  df-pss 2803  df-nul 3070  df-if 3178  df-pw 3239  df-sn 3257  df-pr 3258  df-tp 3259  df-op 3260  df-uni 3421  df-iun 3498  df-br 3583  df-opab 3637  df-mpt 3638  df-tr 3670  df-eprel 3852  df-id 3856  df-po 3861  df-so 3862  df-fr 3899  df-we 3901  df-ord 3942  df-on 3943  df-lim 3944  df-suc 3945  df-om 4220  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-fun 4274  df-fn 4275  df-f 4276  df-f1 4277  df-fo 4278  df-f1o 4279  df-fv 4280  df-ov 5356  df-oprab 5357  df-mpt2 5358  df-2nd 5608  df-iota 5762  df-recs 5835  df-rdg 5870  df-er 6107  df-en 6294  df-dom 6295  df-sdom 6296  df-riota 6460  df-pnf 8265  df-mnf 8266  df-xr 8267  df-ltxr 8268  df-le 8269  df-sub 8402  df-neg 8403  df-div 8631  df-n 8873  df-n0 9066  df-z 9118  df-uz 9315  df-seq 10035  df-fac 10228
Copyright terms: Public domain