HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem infpn 12080
Description: There exist infinitely many prime numbers: for any natural number  N, there exists a prime number  j greater than  N. (See infpn2 12081 for the equinumerosity version.) (Contributed by NM, 1-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
infpn  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Distinct variable group:    j, k, N

Proof of Theorem infpn
StepHypRef Expression
1 eqid 2065 . 2  |-  ( ( ! `  N )  +  1 )  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
21infpnlem2 12079 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 355    /\ wa 356    = wceq 1520    e. wcel 1522   A.wral 2275   E.wrex 2276   class class class wbr 3592   ` cfv 4274  (class class class)co 5366   1c1 8165    + caddc 8167    < clt 8294    / cdiv 8824   NNcn 9133   !cfa 10657
This theorem is referenced by:  infpn2  12081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-13 1526  ax-14 1527  ax-17 1529  ax-12o 1563  ax-10 1577  ax-9 1583  ax-4 1590  ax-16 1776  ax-ext 2047  ax-sep 3707  ax-nul 3715  ax-pow 3751  ax-pr 3775  ax-un 4067  ax-cnex 8219  ax-resscn 8220  ax-1cn 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1ne0 8232  ax-1rid 8233  ax-rnegex 8234  ax-rrecex 8235  ax-cnre 8236  ax-pre-lttri 8237  ax-pre-lttrn 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1447  df-sb 1737  df-eu 1959  df-mo 1960  df-clab 2053  df-cleq 2058  df-clel 2061  df-ne 2185  df-nel 2186  df-ral 2279  df-rex 2280  df-reu 2281  df-rab 2282  df-v 2478  df-sbc 2652  df-csb 2734  df-dif 2797  df-un 2799  df-in 2801  df-ss 2805  df-pss 2807  df-nul 3074  df-if 3183  df-pw 3244  df-sn 3262  df-pr 3263  df-tp 3264  df-op 3265  df-uni 3431  df-iun 3508  df-br 3593  df-opab 3647  df-mpt 3648  df-tr 3680  df-eprel 3862  df-id 3866  df-po 3871  df-so 3872  df-fr 3909  df-we 3911  df-ord 3952  df-on 3953  df-lim 3954  df-suc 3955  df-om 4230  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-fun 4284  df-fn 4285  df-f 4286  df-f1 4287  df-fo 4288  df-f1o 4289  df-fv 4290  df-ov 5369  df-oprab 5370  df-mpt2 5371  df-2nd 5621  df-iota 5776  df-recs 5849  df-rdg 5884  df-er 6121  df-en 6308  df-dom 6309  df-sdom 6310  df-riota 6474  df-pnf 8295  df-mnf 8296  df-xr 8297  df-ltxr 8298  df-le 8299  df-sub 8460  df-neg 8461  df-div 8825  df-n 9134  df-n0 9350  df-z 9409  df-uz 9615  df-seq 10417  df-fac 10658
Copyright terms: Public domain