HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem infpn 9743
Description: There exist infinitely many prime numbers: for any natural number N, there exists a prime number j greater than N. (See infpn2 9744 for the equinumerosity version.)
Assertion
Ref Expression
infpn |- (N e. NN -> E.j e. NN (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j))))
Distinct variable group:   j,k,N

Proof of Theorem infpn
StepHypRef Expression
1 eqid 1960 . 2 |- ((!` N) + 1) = ((!` N) + 1)
21infpnlem2 9742 1 |- (N e. NN -> E.j e. NN (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 381   /\ wa 382   = wceq 1457   e. wcel 1459  A.wral 2169  E.wrex 2170   class class class wbr 3376  ` cfv 4012  (class class class)co 4924  1c1 6961   + caddc 6963   < clt 7072   / cdiv 7184  NNcn 7185  !cfa 8700
This theorem is referenced by:  infpn2 9744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-rep 3462  ax-sep 3472  ax-nul 3481  ax-pow 3517  ax-pr 3541  ax-un 3811  ax-inf2 6033  ax-resscn 7014  ax-1cn 7015  ax-icn 7016  ax-addcl 7017  ax-addrcl 7018  ax-mulcl 7019  ax-mulrcl 7020  ax-mulcom 7021  ax-addass 7022  ax-mulass 7023  ax-distr 7024  ax-i2m1 7025  ax-1ne0 7026  ax-1rid 7027  ax-rnegex 7028  ax-rrecex 7029  ax-cnre 7030  ax-pre-lttri 7031  ax-pre-lttrn 7032  ax-pre-ltadd 7033  ax-pre-mulgt0 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-nel 2081  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3084  df-sn 3099  df-pr 3100  df-tp 3102  df-op 3103  df-uni 3232  df-iun 3304  df-br 3377  df-opab 3431  df-tr 3446  df-eprel 3624  df-id 3627  df-po 3632  df-so 3646  df-fr 3665  df-we 3681  df-ord 3697  df-on 3698  df-lim 3699  df-suc 3700  df-om 3967  df-xp 4014  df-rel 4015  df-cnv 4016  df-co 4017  df-dm 4018  df-rn 4019  df-res 4020  df-ima 4021  df-fun 4022  df-fn 4023  df-f 4024  df-f1 4025  df-fo 4026  df-f1o 4027  df-fv 4028  df-ov 4926  df-oprab 4927  df-mpt 5061  df-mpt2 5062  df-1st 5130  df-2nd 5131  df-iota 5234  df-rdg 5320  df-er 5494  df-en 5639  df-dom 5640  df-sdom 5641  df-riota 5782  df-pnf 7073  df-mnf 7074  df-xr 7075  df-ltxr 7076  df-le 7077  df-sub 7201  df-neg 7203  df-div 7426  df-n 7660  df-n0 7830  df-z 7872  df-uz 7992  df-seq 8518  df-fac 8701
Copyright terms: Public domain