Theorem infpn2 7510

Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes S is unbounded by infpn 7509, so by unben 7506 it is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
infpn2.1	|- S = {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))}

Assertion

Ref	Expression
infpn2	|- S ~~ NN

Distinct variable group:   m,n

Proof of Theorem infpn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpn2.1	. . 3 |- S = {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))}
2		ssrab2 2134	. . 3 |- {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))} (_ NN
3	1, 2	eqsstr 2094	. 2 |- S (_ NN
4		infpn 7509	. . . . 5 |- (j e. NN -> E.k e. NN (j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
5		nnge1t 5945	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> 1 <_ j)
6	5	adantr 391	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> 1 <_ j)
7		1re 5447	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
8		lelttrt 5535	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
9	7, 8	mp3an1 905	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
10		nnret 5931	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> j e. RR)
11		nnret 5931	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> k e. RR)
12	9, 10, 11	syl2an 456	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
13	6, 12	mpand 703	. . . . . . . . 9 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (j < k -> 1 < k))
14	13	ancld 298	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (j < k -> (j < k /\ 1 < k)))
15	14	anim1d 562	. . . . . . 7 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> ((j < k /\ 1 < k) /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
16		anass 441	. . . . . . 7 |- (((j < k /\ 1 < k) /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) <-> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
17	15, 16	syl6ib 212	. . . . . 6 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
18	17	r19.22dva 1742	. . . . 5 |- (j e. NN -> (E.k e. NN (j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
19	4, 18	mpd 26	. . . 4 |- (j e. NN -> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
20		breq2 2628	. . . . . . . . 9 |- (n = k -> (1 < n <-> 1 < k))
21		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = k -> (n / m) = (k / m))
22	21	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . 11 |- (n = k -> ((n / m) e. NN <-> (k / m) e. NN))
23		eqeq2 1487	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = k -> (m = n <-> m = k))
24	23	orbi2d 616	. . . . . . . . . . 11 |- (n = k -> ((m = 1 \/ m = n) <-> (m = 1 \/ m = k)))
25	22, 24	imbi12d 628	. . . . . . . . . 10 |- (n = k -> (((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)) <-> ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
26	25	ralbidv 1666	. . . . . . . . 9 |- (n = k -> (A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)) <-> A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
27	20, 26	anbi12d 630	. . . . . . . 8 |- (n = k -> ((1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n))) <-> (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
28	27, 1	elrab2 1910	. . . . . . 7 |- (k e. S <-> (k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
29	28	anbi1i 483	. . . . . 6 |- ((k e. S /\ j < k) <-> ((k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))) /\ j < k))
30		anass 441	. . . . . 6 |- (((k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))) /\ j < k) <-> (k e. NN /\ ((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k)))
31		ancom 437	. . . . . . 7 |- (((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k) <-> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
32	31	anbi2i 482	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ ((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k)) <-> (k e. NN /\ (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
33	29, 30, 32	3bitr 177	. . . . 5 |- ((k e. S /\ j < k) <-> (k e. NN /\ (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
34	33	rexbii2 1675	. . . 4 |- (E.k e. S j < k <-> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
35	19, 34	sylibr 200	. . 3 |- (j e. NN -> E.k e. S j < k)
36	35	rgen 1701	. 2 |- A.j e. NN E.k e. S j < k
37		unben 7506	. 2 |- ((S (_ NN /\ A.j e. NN E.k e. S j < k) -> S ~~ NN)
38	3, 36, 37	mp2an 699	1 |- S ~~ NN

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969   ~~ cen 4370  RRcr 5245  1c1 5247   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-fac 6932

Copyright terms: Public domain