Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpn2 Unicode version

Theorem infpn2 13269
 Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes is unbounded by infpn 13268, so by unben 13265 it is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpn2.1
Assertion
Ref Expression
infpn2
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem infpn2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infpn2.1 . . 3
2 ssrab2 3420 . . 3
31, 2eqsstri 3370 . 2
4 infpn 13268 . . . . 5
5 nnge1 10015 . . . . . . . . . . 11
65adantr 452 . . . . . . . . . 10
7 nnre 9996 . . . . . . . . . . 11
8 nnre 9996 . . . . . . . . . . 11
9 1re 9079 . . . . . . . . . . . 12
10 lelttr 9154 . . . . . . . . . . . 12
119, 10mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11
127, 8, 11syl2an 464 . . . . . . . . . 10
136, 12mpand 657 . . . . . . . . 9
1413ancld 537 . . . . . . . 8
1514anim1d 548 . . . . . . 7
16 anass 631 . . . . . . 7
1715, 16syl6ib 218 . . . . . 6
1817reximdva 2810 . . . . 5
194, 18mpd 15 . . . 4
20 breq2 4208 . . . . . . . . 9
21 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . 12
2221eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11
23 equequ2 1698 . . . . . . . . . . . 12
2423orbi2d 683 . . . . . . . . . . 11
2522, 24imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
2625ralbidv 2717 . . . . . . . . 9
2720, 26anbi12d 692 . . . . . . . 8
2827, 1elrab2 3086 . . . . . . 7
2928anbi1i 677 . . . . . 6
30 anass 631 . . . . . 6
31 ancom 438 . . . . . . 7
3231anbi2i 676 . . . . . 6
3329, 30, 323bitri 263 . . . . 5
3433rexbii2 2726 . . . 4
3519, 34sylibr 204 . . 3
3635rgen 2763 . 2
37 unben 13265 . 2
383, 36, 37mp2an 654 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   wss 3312   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072   cen 7097  cr 8978  c1 8980   clt 9109   cle 9110   cdiv 9666  cn 9989 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-seq 11312  df-fac 11555
 Copyright terms: Public domain W3C validator