Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpss Unicode version

Theorem infpss 7843
 Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 7939. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpss
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem infpss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infn0 7119 . . 3
2 n0 3464 . . 3
31, 2sylib 188 . 2
4 reldom 6869 . . . . . . . 8
54brrelex2i 4730 . . . . . . 7
6 difexg 4162 . . . . . . 7
75, 6syl 15 . . . . . 6
87adantr 451 . . . . 5
9 simpr 447 . . . . . . 7
10 disjsn 3693 . . . . . . . . 9
11 disj4 3503 . . . . . . . . 9
1210, 11bitr3i 242 . . . . . . . 8
1312con4bii 288 . . . . . . 7
149, 13sylib 188 . . . . . 6
15 infdifsn 7357 . . . . . . 7
1615adantr 451 . . . . . 6
1714, 16jca 518 . . . . 5
18 psseq1 3263 . . . . . . 7
19 breq1 4026 . . . . . . 7
2018, 19anbi12d 691 . . . . . 6
2120spcegv 2869 . . . . 5
228, 17, 21sylc 56 . . . 4
2322ex 423 . . 3
2423exlimdv 1664 . 2
253, 24mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  cvv 2788   cdif 3149   cin 3151   wpss 3153  c0 3455  csn 3640   class class class wbr 4023  com 4656   cen 6860   cdom 6861 This theorem is referenced by:  isfin4-2  7940 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
 Copyright terms: Public domain W3C validator