Theorem infpss 7574

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91.

Hypothesis

Ref	Expression
infpss.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
infpss	|- (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem infpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpss.1	. . . 4 |- A e. V
2	1	infn0 4533	. . 3 |- (om ~<_ A -> A =/= (/))
3		ne0 2288	. . 3 |- (A =/= (/) <-> E.y y e. A)
4	2, 3	sylib 198	. 2 |- (om ~<_ A -> E.y y e. A)
5		difexg 2722	. . . . . . 7 |- (A e. V -> (A \ {y}) e. V)
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A \ {y}) e. V
7		psseq1 2135	. . . . . . 7 |- (x = (A \ {y}) -> (x (. A <-> (A \ {y}) (. A))
8		breq1 2622	. . . . . . 7 |- (x = (A \ {y}) -> (x ~~ A <-> (A \ {y}) ~~ A))
9	7, 8	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (x = (A \ {y}) -> ((x (. A /\ x ~~ A) <-> ((A \ {y}) (. A /\ (A \ {y}) ~~ A)))
10	6, 9	cla4ev 1869	. . . . 5 |- (((A \ {y}) (. A /\ (A \ {y}) ~~ A) -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))
11		snidg 2433	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> y e. {y})
12	11	ancli 296	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> (y e. A /\ y e. {y}))
13		elin 2207	. . . . . . . 8 |- (y e. (A i^i {y}) <-> (y e. A /\ y e. {y}))
14	12, 13	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (y e. A -> y e. (A i^i {y}))
15		n0i 2285	. . . . . . 7 |- (y e. (A i^i {y}) -> -. (A i^i {y}) = (/))
16	14, 15	syl 10	. . . . . 6 |- (y e. A -> -. (A i^i {y}) = (/))
17		disj4 2317	. . . . . . 7 |- ((A i^i {y}) = (/) <-> -. (A \ {y}) (. A)
18	17	con2bii 221	. . . . . 6 |- ((A \ {y}) (. A <-> -. (A i^i {y}) = (/))
19	16, 18	sylibr 200	. . . . 5 |- (y e. A -> (A \ {y}) (. A)
20		1onn 4253	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
21	1	infsdomnn 4532	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ 1o e. om) -> 1o ~< A)
22	20, 21	mpan2 696	. . . . . . 7 |- (om ~<_ A -> 1o ~< A)
23		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
24	23	ensn1 4424	. . . . . . . 8 |- {y} ~~ 1o
25		ensdomtr 4471	. . . . . . . 8 |- (({y} ~~ 1o /\ 1o ~< A) -> {y} ~< A)
26	24, 25	mpan 695	. . . . . . 7 |- (1o ~< A -> {y} ~< A)
27	22, 26	syl 10	. . . . . 6 |- (om ~<_ A -> {y} ~< A)
28		snex 2750	. . . . . . 7 |- {y} e. V
29	1, 28	infdif 7568	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ {y} ~< A) -> (A \ {y}) ~~ A)
30	27, 29	mpdan 704	. . . . 5 |- (om ~<_ A -> (A \ {y}) ~~ A)
31	10, 19, 30	syl2an 454	. . . 4 |- ((y e. A /\ om ~<_ A) -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))
32	31	ex 373	. . 3 |- (y e. A -> (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A)))
33	32	19.23aiv 1295	. 2 |- (E.y y e. A -> (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A)))
34	4, 33	mpcom 49	1 |- (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  Vcvv 1811   \ cdif 2044   i^i cin 2046   (. wpss 2048  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619  omcom 3131  1oc1o 4128   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-iso 3199  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-2o 4134  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816  df-cda 4918  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain