Theorem infunabs 7565

Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. V
infunabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
infunabs	|- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~~ A)

Proof of Theorem infunabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 4421	. . . . . . . 8 |- (((A +c B) ~<_ (A X. A) /\ (A X. A) ~~ A) -> (A +c B) ~<_ A)
2		domtr 4415	. . . . . . . . 9 |- (((A +c B) ~<_ (A X. 2o) /\ (A X. 2o) ~<_ (A X. A)) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
3		infunabs.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
4		infunabs.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. V
5	3, 4, 4	cdadom2 4934	. . . . . . . . . 10 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A +c A))
6	4	xp2cda 4928	. . . . . . . . . 10 |- (A X. 2o) = (A +c A)
7	5, 6	syl6breqr 2655	. . . . . . . . 9 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A X. 2o))
8		2onn 4254	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
9		omsdomnn 4530	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2o e. om -> (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o)
11	10	pm3.26i 320	. . . . . . . . . . 11 |- 2o ~<_ om
12		domtr 4415	. . . . . . . . . . 11 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ A) -> 2o ~<_ A)
13	11, 12	mpan 695	. . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ A -> 2o ~<_ A)
14	4, 4	xpdom2 4442	. . . . . . . . . 10 |- (2o ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
15	13, 14	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (om ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
16	2, 7, 15	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
17	4	infxpidm 7564	. . . . . . . . 9 |- (om ~<_ A -> (A X. A) ~~ A)
18	17	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A X. A) ~~ A)
19	1, 16, 18	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ A)
20	4, 3	cdadom3 4935	. . . . . . 7 |- A ~<_ (A +c B)
21	19, 20	jctir 293	. . . . . 6 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> ((A +c B) ~<_ A /\ A ~<_ (A +c B)))
22		sbth 4457	. . . . . 6 |- (((A +c B) ~<_ A /\ A ~<_ (A +c B)) -> (A +c B) ~~ A)
23	21, 22	syl 10	. . . . 5 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)
24	23	ancoms 436	. . . 4 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)
25	4, 3	uncdadom 4921	. . . . 5 |- (A u. B) ~<_ (A +c B)
26		domentr 4421	. . . . 5 |- (((A u. B) ~<_ (A +c B) /\ (A +c B) ~~ A) -> (A u. B) ~<_ A)
27	25, 26	mpan 695	. . . 4 |- ((A +c B) ~~ A -> (A u. B) ~<_ A)
28	24, 27	syl 10	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~<_ A)
29		ssun1 2193	. . . 4 |- A (_ (A u. B)
30		ssdomg 4408	. . . 4 |- (A e. V -> (A (_ (A u. B) -> A ~<_ (A u. B)))
31	4, 29, 30	mp2 43	. . 3 |- A ~<_ (A u. B)
32	28, 31	jctir 293	. 2 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> ((A u. B) ~<_ A /\ A ~<_ (A u. B)))
33		sbth 4457	. 2 |- (((A u. B) ~<_ A /\ A ~<_ (A u. B)) -> (A u. B) ~~ A)
34	32, 33	syl 10	1 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~~ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  omcom 3131   X. cxp 3168  (class class class)co 3963  2oc2o 4129   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365   +c ccda 4917

This theorem is referenced by:  infcda 7567  infdif 7568  infxp 7572

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-iso 3199  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-2o 4134  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816  df-cda 4918  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain