Theorem infxp 7573

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. V
infunabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
infxp	|- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))

Proof of Theorem infxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infunabs.2	. . 3 |- B e. V
2		infunabs.1	. . 3 |- A e. V
3		entri3 4851	. . 3 |- ((B e. V /\ A e. V) -> (B ~<_ A \/ A ~<_ B))
4	1, 2, 3	mp2an 699	. 2 |- (B ~<_ A \/ A ~<_ B)
5		entrt 4420	. . . . 5 |- (((A X. B) ~~ A /\ A ~~ (A u. B)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))
6	2, 1	infxpabs 7571	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/) /\ B ~<_ A) -> (A X. B) ~~ A)
7	6	3expa 835	. . . . 5 |- (((om ~<_ A /\ B =/= (/)) /\ B ~<_ A) -> (A X. B) ~~ A)
8	2, 1	infunabs 7566	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~~ A)
9	2	ensym 4418	. . . . . . 7 |- ((A u. B) ~~ A -> A ~~ (A u. B))
10	8, 9	syl 10	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> A ~~ (A u. B))
11	10	adantlr 395	. . . . 5 |- (((om ~<_ A /\ B =/= (/)) /\ B ~<_ A) -> A ~~ (A u. B))
12	5, 7, 11	sylanc 473	. . . 4 |- (((om ~<_ A /\ B =/= (/)) /\ B ~<_ A) -> (A X. B) ~~ (A u. B))
13	12	ex 373	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (B ~<_ A -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
14		domtr 4421	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> om ~<_ B)
15	2	infn0 4542	. . . . . . . . 9 |- (om ~<_ A -> A =/= (/))
16	15	adantr 391	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> A =/= (/))
17		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> A ~<_ B)
18	14, 16, 17	3jca 821	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> (om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B))
19		entrt 4420	. . . . . . . 8 |- (((B X. A) ~~ B /\ B ~~ (B u. A)) -> (B X. A) ~~ (B u. A))
20	1, 2	infxpabs 7571	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B) -> (B X. A) ~~ B)
21	1, 2	infunabs 7566	. . . . . . . . . 10 |- ((om ~<_ B /\ A ~<_ B) -> (B u. A) ~~ B)
22	1	ensym 4418	. . . . . . . . . 10 |- ((B u. A) ~~ B -> B ~~ (B u. A))
23	21, 22	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ B /\ A ~<_ B) -> B ~~ (B u. A))
24	23	3adant2 800	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B) -> B ~~ (B u. A))
25	19, 20, 24	sylanc 473	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B) -> (B X. A) ~~ (B u. A))
26	2, 1	xpcomen 4445	. . . . . . . 8 |- (A X. B) ~~ (B X. A)
27		entrt 4420	. . . . . . . 8 |- (((A X. B) ~~ (B X. A) /\ (B X. A) ~~ (B u. A)) -> (A X. B) ~~ (B u. A))
28	26, 27	mpan 697	. . . . . . 7 |- ((B X. A) ~~ (B u. A) -> (A X. B) ~~ (B u. A))
29	18, 25, 28	3syl 20	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> (A X. B) ~~ (B u. A))
30		uncom 2179	. . . . . 6 |- (B u. A) = (A u. B)
31	29, 30	syl6breq 2659	. . . . 5 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> (A X. B) ~~ (A u. B))
32	31	ex 373	. . . 4 |- (om ~<_ A -> (A ~<_ B -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
33	32	adantr 391	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (A ~<_ B -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
34	13, 33	jaod 426	. 2 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> ((B ~<_ A \/ A ~<_ B) -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
35	4, 34	mpi 44	1 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   =/= wne 1588  Vcvv 1814   u. cun 2048  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  omcom 3137   X. cxp 3174   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371

This theorem is referenced by:  alephmul 7585

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-iso 3205  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-2o 4140  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-card 4826  df-cda 4930  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain