Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxpg Unicode version

Theorem infxpg 24493
Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
infxpg  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  -> 
( A  X.  B
)  ~~  ( A  u.  B ) )

Proof of Theorem infxpg
StepHypRef Expression
1 simp3l 985 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  ->  A  e.  C )
2 numth3 8092 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  A  e.  dom  card )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  ->  A  e.  dom  card )
4 simp1 957 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  ->  om 
~<_  A )
5 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  ->  B  e.  D )
6 numth3 8092 . . 3  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  dom  card )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  ->  B  e.  dom  card )
8 simp2 958 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  ->  B  =/=  (/) )
9 infxp 7836 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  e.  dom  card  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  ( A  X.  B )  ~~  ( A  u.  B )
)
103, 4, 7, 8, 9syl22anc 1185 1  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  B  =/=  (/)  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  -> 
( A  X.  B
)  ~~  ( A  u.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    e. wcel 1685    =/= wne 2447    u. cun 3151   (/)c0 3456   class class class wbr 4024   omcom 4655    X. cxp 4686   dom cdm 4688    ~~ cen 6855    ~<_ cdom 6856   cardccrd 7563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-ac2 8084
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-oi 7220  df-card 7567  df-ac 7738  df-cda 7789
  Copyright terms: Public domain W3C validator