Theorem infxpidmlem10 7773

Description: Lemma for infxpidm 7776. A maximal bijection g in H is non-empty.

Hypotheses

Ref	Expression
infxpidmlem.1	|- H = {f | (f = (/) \/ E.t((om ~<_ t /\ t (_ A) /\ f:(t X. t)-1-1-onto->t))}
infxpidmlem.2	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
infxpidmlem10	|- (A.h e. H -. g (. h -> (om ~<_ A -> g =/= (/)))

Distinct variable groups:   f,g,h,t,A   g,H,h

Proof of Theorem infxpidmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psseq1 2187	. . . . . . 7 |- (g = (/) -> (g (. v <-> (/) (. v))
2		0pss 2361	. . . . . . 7 |- ((/) (. v <-> v =/= (/))
3	1, 2	syl6bb 539	. . . . . 6 |- (g = (/) -> (g (. v <-> v =/= (/)))
4	3	necon2bbid 1667	. . . . 5 |- (g = (/) -> (v = (/) <-> -. g (. v))
5		psseq2 2188	. . . . . . 7 |- (h = v -> (g (. h <-> g (. v))
6	5	notbid 614	. . . . . 6 |- (h = v -> (-. g (. h <-> -. g (. v))
7	6	rcla4cva 1922	. . . . 5 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> -. g (. v)
8	4, 7	syl5cbir 209	. . . 4 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> (g = (/) -> v = (/)))
9	8	necon3d 1647	. . 3 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> (v =/= (/) -> g =/= (/)))
10	9	r19.23adva 1793	. 2 |- (A.h e. H -. g (. h -> (E.v e. H v =/= (/) -> g =/= (/)))
11		infxpidmlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- H = {f | (f = (/) \/ E.t((om ~<_ t /\ t (_ A) /\ f:(t X. t)-1-1-onto->t))}
12		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- v e. V
13		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
14	11, 12, 13	infxpidmlem3 7766	. . . . . . . . . 10 |- (((om ~<_ y /\ y (_ A) /\ v:(y X. y)-1-1-onto->y) -> v e. H)
15	14	ex 371	. . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v e. H))
16		f1ofo 3803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v:(y X. y)-onto->y)
17		forn 3782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v:(y X. y)-onto->y -> ran v = y)
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> ran v = y)
19		rneq 3426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = (/) -> ran v = ran (/))
20		rn0 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran (/) = (/)
21	19, 20	syl6eq 1566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = (/) -> ran v = (/))
22	18, 21	sylan9req 1571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v:(y X. y)-1-1-onto->y /\ v = (/)) -> y = (/))
23	22	ex 371	. . . . . . . . . . . 12 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (v = (/) -> y = (/)))
24	23	necon3d 1647	. . . . . . . . . . 11 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (y =/= (/) -> v =/= (/)))
25	13	infn0 4679	. . . . . . . . . . 11 |- (om ~<_ y -> y =/= (/))
26	24, 25	syl5com 52	. . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ y -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v =/= (/)))
27	26	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v =/= (/)))
28	15, 27	jcad 603	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (v e. H /\ v =/= (/))))
29	28	19.22dv 1328	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y -> E.v(v e. H /\ v =/= (/))))
30	29	imp 348	. . . . . 6 |- (((om ~<_ y /\ y (_ A) /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
31	30	an1rs 492	. . . . 5 |- (((om ~<_ y /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y) /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
32		endom 4526	. . . . . 6 |- (om ~~ y -> om ~<_ y)
33		omex 4772	. . . . . . . . . . 11 |- om e. V
34	33, 13, 33, 13	xpen 4635	. . . . . . . . . 10 |- ((om ~~ y /\ om ~~ y) -> (om X. om) ~~ (y X. y))
35	34	anidms 435	. . . . . . . . 9 |- (om ~~ y -> (om X. om) ~~ (y X. y))
36		xpomen 7712	. . . . . . . . . 10 |- (om X. om) ~~ om
37	13, 13	xpex 3349	. . . . . . . . . . 11 |- (y X. y) e. V
38		enen1 4622	. . . . . . . . . . 11 |- (((y X. y) e. V /\ (om X. om) ~~ (y X. y)) -> ((om X. om) ~~ om <-> (y X. y) ~~ om))
39	37, 38	mpan 699	. . . . . . . . . 10 |- ((om X. om) ~~ (y X. y) -> ((om X. om) ~~ om <-> (y X. y) ~~ om))
40	36, 39	mpbii 191	. . . . . . . . 9 |- ((om X. om) ~~ (y X. y) -> (y X. y) ~~ om)
41	35, 40	syl 10	. . . . . . . 8 |- (om ~~ y -> (y X. y) ~~ om)
42		enen2 4623	. . . . . . . . 9 |- ((y e. V /\ om ~~ y) -> ((y X. y) ~~ om <-> (y X. y) ~~ y))
43	13, 42	mpan 699	. . . . . . . 8 |- (om ~~ y -> ((y X. y) ~~ om <-> (y X. y) ~~ y))
44	41, 43	mpbid 193	. . . . . . 7 |- (om ~~ y -> (y X. y) ~~ y)
45	13	bren 4518	. . . . . . 7 |- ((y X. y) ~~ y <-> E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y)
46	44, 45	sylib 196	. . . . . 6 |- (om ~~ y -> E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y)
47	32, 46	jca 286	. . . . 5 |- (om ~~ y -> (om ~<_ y /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y))
48	31, 47	sylan 450	. . . 4 |- ((om ~~ y /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
49	48	19.23aiv 1333	. . 3 |- (E.y(om ~~ y /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
50		infxpidmlem.2	. . . 4 |- A e. V
51	50	domen 4520	. . 3 |- (om ~<_ A <-> E.y(om ~~ y /\ y (_ A))
52		df-rex 1696	. . 3 |- (E.v e. H v =/= (/) <-> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
53	49, 51, 52	3imtr4i 217	. 2 |- (om ~<_ A -> E.v e. H v =/= (/))
54	10, 53	syl5 21	1 |- (A.h e. H -. g (. h -> (om ~<_ A -> g =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  {cab 1505   =/= wne 1628  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   (_ wss 2099   (. wpss 2100  (/)c0 2332   class class class wbr 2692  omcom 3218   X. cxp 3249  ran crn 3252  -onto->wfo 3261  -1-1-onto->wf1o 3262   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506

This theorem is referenced by:  infxpidmlem12 7775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764

Copyright terms: Public domain