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Theorem ingru 8692
Description: The intersection of a universe with a class that acts like a universe is another universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ingru  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem ingru
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq1 3537 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
u  i^i  A )  =  ( U  i^i  A ) )
21eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( u  i^i  A
)  e.  Univ  <->  ( U  i^i  A )  e.  Univ ) )
32imbi2d 309 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  (
u  i^i  A )  e.  Univ )  <->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) ) )
4 elgrug 8669 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( u  e.  Univ  <->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) ) ) )
54ibi 234 . . . . 5  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) )
6 trin 4314 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  u  /\  Tr  A )  ->  Tr  ( u  i^i  A ) )
76ex 425 . . . . . 6  |-  ( Tr  u  ->  ( Tr  A  ->  Tr  ( u  i^i  A ) ) )
8 inss1 3563 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  A )  C_  u
9 ssralv 3409 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  u  ->  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u ) )
11 inss2 3564 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
12 ssralv 3409 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
) ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
) ) )
14 elin 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P x  e.  ( u  i^i  A )  <->  ( ~P x  e.  u  /\  ~P x  e.  A
) )
1514simplbi2 610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P x  e.  u  -> 
( ~P x  e.  A  ->  ~P x  e.  ( u  i^i  A
) ) )
16 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  ->  A. y  e.  (
u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  u ) )
178, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  u
)
18 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  (
u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  A ) )
1911, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  A
)
20 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x ,  y }  e.  ( u  i^i 
A )  <->  ( {
x ,  y }  e.  u  /\  {
x ,  y }  e.  A ) )
2120simplbi2 610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x ,  y }  e.  u  ->  ( { x ,  y }  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) )
2221ral2imi 2784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  u  ->  ( A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) )
2317, 19, 22syl2im 37 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  ->  ( A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  (
u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) )
2415, 23im2anan9 810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u )  ->  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A )  -> 
( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) ) )
25 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  u  e. 
_V
26 mapss 7058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( u  i^i  A ) 
C_  u )  -> 
( ( u  i^i 
A )  ^m  x
)  C_  ( u  ^m  x ) )
2725, 8, 26mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  C_  ( u  ^m  x
)
28 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  i^i  A
)  ^m  x )  C_  ( u  ^m  x
)  ->  ( A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)
3025inex1 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  A )  e. 
_V
31 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
3230, 31elmap 7044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  <->  y :
x --> ( u  i^i 
A ) )
33 fss 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y : x --> ( u  i^i  A )  /\  ( u  i^i  A ) 
C_  A )  -> 
y : x --> A )
3411, 33mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y : x --> ( u  i^i  A )  -> 
y : x --> A )
3532, 34sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  ->  y : x --> A )
3635imim1i 57 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
)  ->  U. ran  y  e.  A ) )
3736alimi 1569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )  ->  A. y ( y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  A )
)
38 df-ral 2712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  ( (
u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  A  <->  A. y
( y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  A ) )
3937, 38sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x ) U. ran  y  e.  A
)
40 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. ran  y  e.  (
u  i^i  A )  <->  ( U. ran  y  e.  u  /\  U. ran  y  e.  A )
)
4140simplbi2 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ran  y  e.  u  ->  ( U. ran  y  e.  A  ->  U. ran  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )
4241ral2imi 2784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( (
u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  ( A. y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x ) U. ran  y  e.  A  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x ) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )
4329, 39, 42syl2im 37 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  ( A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
)  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )
4424, 43im2anan9 810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u )  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )  ->  ( ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A )  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  ( ( ~P x  e.  (
u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
45443impa 1149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  ( (
( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A )  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  ( ( ~P x  e.  (
u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
46 df-3an 939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  <->  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A )  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )
47 df-3an 939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P x  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) )  <->  ( ( ~P x  e.  (
u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )
4845, 46, 473imtr4g 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  ( ~P x  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
4948ral2imi 2784 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( u  i^i  A ) ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )  ->  ( A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
) )  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
5010, 13, 49syl2im 37 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  ( A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
517, 50im2anan9 810 . . . . 5  |-  ( ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( Tr  ( u  i^i  A
)  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) ) )
525, 51syl 16 . . . 4  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( Tr  ( u  i^i  A
)  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) ) )
53 elgrug 8669 . . . . 5  |-  ( ( u  i^i  A )  e.  _V  ->  (
( u  i^i  A
)  e.  Univ  <->  ( Tr  ( u  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) ) )
5430, 53ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( u  i^i  A )  e.  Univ  <->  ( Tr  (
u  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A ) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
5552, 54syl6ibr 220 . . 3  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  (
u  i^i  A )  e.  Univ ) )
563, 55vtoclga 3019 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) )
5756com12 30 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {cpr 3817   U.cuni 4017   Tr wtr 4304   ran crn 4881   -->wf 5452  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   Univcgru 8667
This theorem is referenced by:  wfgru  8693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-gru 8668
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