MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inmbl Unicode version

Theorem inmbl 19389
Description: An intersection of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
inmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem inmbl
StepHypRef Expression
1 difundi 3553 . . 3  |-  ( RR 
\  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) ) )  =  ( ( RR  \ 
( RR  \  A
) )  i^i  ( RR  \  ( RR  \  B ) ) )
2 mblss 19380 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 dfss4 3535 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  <->  ( RR  \ 
( RR  \  A
) )  =  A )
42, 3sylib 189 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( RR 
\  A ) )  =  A )
5 mblss 19380 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
6 dfss4 3535 . . . . 5  |-  ( B 
C_  RR  <->  ( RR  \ 
( RR  \  B
) )  =  B )
75, 6sylib 189 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( RR 
\  B ) )  =  B )
84, 7ineqan12d 3504 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  ( RR  \  A ) )  i^i  ( RR  \  ( RR  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  B ) )
91, 8syl5eq 2448 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( RR  \ 
( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  B ) )
10 cmmbl 19382 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  A )  e.  dom  vol )
11 cmmbl 19382 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  B )  e.  dom  vol )
12 unmbl 19385 . . . 4  |-  ( ( ( RR  \  A
)  e.  dom  vol  /\  ( RR  \  B
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) )  e.  dom  vol )
1310, 11, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) )  e.  dom  vol )
14 cmmbl 19382 . . 3  |-  ( ( ( RR  \  A
)  u.  ( RR 
\  B ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  e.  dom  vol )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( RR  \ 
( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  e.  dom  vol )
169, 15eqeltrrd 2479 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   dom cdm 4837   RRcr 8945   volcvol 19313
This theorem is referenced by:  difmbl  19390  volinun  19393  uniioombllem4  19431  subopnmbl  19449  volsup2  19450  volcn  19451  volivth  19452  mbfid  19481  ismbfd  19485  mbfres  19489  mbfmax  19494  mbfimaopnlem  19500  mbfimaopn2  19502  mbfaddlem  19505  mbfadd  19506  mbfsub  19507  i1fadd  19540  i1fmul  19541  itg1addlem2  19542  itg1addlem4  19544  itg1addlem5  19545  i1fres  19550  itg1climres  19559  mbfi1fseqlem4  19563  mbfmul  19571  itg2monolem1  19595  itg2cnlem2  19607  mbfposadd  26153  itg2addnclem2  26156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ovol 19314  df-vol 19315
  Copyright terms: Public domain W3C validator