MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inmbl Structured version   Unicode version

Theorem inmbl 19436
Description: An intersection of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
inmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem inmbl
StepHypRef Expression
1 difundi 3593 . . 3  |-  ( RR 
\  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) ) )  =  ( ( RR  \ 
( RR  \  A
) )  i^i  ( RR  \  ( RR  \  B ) ) )
2 mblss 19427 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 dfss4 3575 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  <->  ( RR  \ 
( RR  \  A
) )  =  A )
42, 3sylib 189 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( RR 
\  A ) )  =  A )
5 mblss 19427 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
6 dfss4 3575 . . . . 5  |-  ( B 
C_  RR  <->  ( RR  \ 
( RR  \  B
) )  =  B )
75, 6sylib 189 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( RR 
\  B ) )  =  B )
84, 7ineqan12d 3544 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  ( RR  \  A ) )  i^i  ( RR  \  ( RR  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  B ) )
91, 8syl5eq 2480 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( RR  \ 
( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  B ) )
10 cmmbl 19429 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  A )  e.  dom  vol )
11 cmmbl 19429 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  B )  e.  dom  vol )
12 unmbl 19432 . . . 4  |-  ( ( ( RR  \  A
)  e.  dom  vol  /\  ( RR  \  B
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) )  e.  dom  vol )
1310, 11, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) )  e.  dom  vol )
14 cmmbl 19429 . . 3  |-  ( ( ( RR  \  A
)  u.  ( RR 
\  B ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  e.  dom  vol )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( RR  \ 
( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  e.  dom  vol )
169, 15eqeltrrd 2511 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   dom cdm 4878   RRcr 8989   volcvol 19360
This theorem is referenced by:  difmbl  19437  volinun  19440  uniioombllem4  19478  subopnmbl  19496  volsup2  19497  volcn  19498  volivth  19499  mbfid  19528  ismbfd  19532  mbfres  19536  mbfmax  19541  mbfimaopnlem  19547  mbfimaopn2  19549  mbfaddlem  19552  mbfadd  19553  mbfsub  19554  i1fadd  19587  i1fmul  19588  itg1addlem2  19589  itg1addlem4  19591  itg1addlem5  19592  i1fres  19597  itg1climres  19606  mbfi1fseqlem4  19610  mbfmul  19618  itg2monolem1  19642  itg2cnlem2  19654  mbfposadd  26254  itg2addnclem2  26257  ftc1anclem6  26285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-ovol 19361  df-vol 19362
  Copyright terms: Public domain W3C validator