Theorem inopab 3258

Description: Intersection of two ordered pair class abstractions.

Assertion

Ref	Expression
inopab	|- ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | ps}) = {<.x, y>. | (ph /\ ps)}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem inopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 3256	. . 3 |- Rel {<.x, y>. | ph}
2		relin1 3252	. . 3 |- (Rel {<.x, y>. | ph} -> Rel ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | ps}))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- Rel ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | ps})
4		relopab 3256	. 2 |- Rel {<.x, y>. | (ph /\ ps)}
5		sban 1232	. . . 4 |- ([w / y]([z / x]ph /\ [z / x]ps) <-> ([w / y][z / x]ph /\ [w / y][z / x]ps))
6		sban 1232	. . . . 5 |- ([z / x](ph /\ ps) <-> ([z / x]ph /\ [z / x]ps))
7	6	sbbii 1170	. . . 4 |- ([w / y][z / x](ph /\ ps) <-> [w / y]([z / x]ph /\ [z / x]ps))
8		opabsb 2804	. . . . 5 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)
9		opabsb 2804	. . . . 5 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ps} <-> [w / y][z / x]ps)
10	8, 9	anbi12i 481	. . . 4 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | ps}) <-> ([w / y][z / x]ph /\ [w / y][z / x]ps))
11	5, 7, 10	3bitr4r 184	. . 3 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | ps}) <-> [w / y][z / x](ph /\ ps))
12		elin 2197	. . 3 |- (<.z, w>. e. ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | ps}) <-> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | ps}))
13		opabsb 2804	. . 3 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | (ph /\ ps)} <-> [w / y][z / x](ph /\ ps))
14	11, 12, 13	3bitr4 183	. 2 |- (<.z, w>. e. ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | ps}) <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | (ph /\ ps)})
15	3, 4, 14	eqrelriv 3241	1 |- ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | ps}) = {<.x, y>. | (ph /\ ps)}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  [wsbc 1166   i^i cin 2036  <.cop 2401  {copab 2656  Rel wrel 3165

This theorem is referenced by:  resopab 3379

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175

Copyright terms: Public domain