MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intasym Structured version   Unicode version

Theorem intasym 5241
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intasym  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem intasym
StepHypRef Expression
1 relcnv 5234 . . 3  |-  Rel  `' R
2 relin2 4985 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  Rel  ( R  i^i  `' R ) )
3 ssrel 4956 . . 3  |-  ( Rel  ( R  i^i  `' R )  ->  (
( R  i^i  `' R )  C_  _I  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) )
5 elin 3522 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
6 df-br 4205 . . . . . 6  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
7 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 5047 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
10 df-br 4205 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
119, 10bitr3i 243 . . . . . 6  |-  ( y R x  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
126, 11anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
135, 12bitr4i 244 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( x R y  /\  y R x ) )
14 df-br 4205 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
158ideq 5017 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1614, 15bitr3i 243 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
1713, 16imbi12i 317 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
18172albii 1576 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<-> 
A. x A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
194, 18bitri 241 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   <.cop 3809   class class class wbr 4204    _I cid 4485   `'ccnv 4869   Rel wrel 4875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878
  Copyright terms: Public domain W3C validator