MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intasym Unicode version

Theorem intasym 5046
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intasym  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem intasym
StepHypRef Expression
1 relcnv 5039 . . 3  |-  Rel  `' R
2 relin2 4792 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  Rel  ( R  i^i  `' R ) )
3 ssrel 4764 . . 3  |-  ( Rel  ( R  i^i  `' R )  ->  (
( R  i^i  `' R )  C_  _I  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) ) )
41, 2, 3mp2b 11 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) )
5 elin 3333 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
6 df-br 3998 . . . . . 6  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
7 vex 2766 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2766 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 4852 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
10 df-br 3998 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
119, 10bitr3i 244 . . . . . 6  |-  ( y R x  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
126, 11anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
135, 12bitr4i 245 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( x R y  /\  y R x ) )
14 df-br 3998 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
158ideq 4824 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1614, 15bitr3i 244 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
1713, 16imbi12i 318 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
18172albii 1555 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<-> 
A. x A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
194, 18bitri 242 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3126    C_ wss 3127   <.cop 3617   class class class wbr 3997    _I cid 4276   `'ccnv 4660   Rel wrel 4666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677
  Copyright terms: Public domain W3C validator