Theorem intasym 3430

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51.

Assertion

Ref	Expression
intasym	|- ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y))

Distinct variable group:   x,y,R

Proof of Theorem intasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 2227	. . . 4 |- (R i^i `'R) (_ `'R
2		relcnv 3427	. . . 4 |- Rel `'R
3		relss 3241	. . . 4 |- ((R i^i `'R) (_ `'R -> (Rel `'R -> Rel (R i^i `'R)))
4	1, 2, 3	mp2 43	. . 3 |- Rel (R i^i `'R)
5		ssrel 3242	. . 3 |- (Rel (R i^i `'R) -> ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I)))
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I))
7		df-br 2615	. . . . . 6 |- (xRy <-> <.x, y>. e. R)
8		visset 1809	. . . . . . . 8 |- x e. V
9		visset 1809	. . . . . . . 8 |- y e. V
10	8, 9	brcnv 3294	. . . . . . 7 |- (x`'Ry <-> yRx)
11		df-br 2615	. . . . . . 7 |- (x`'Ry <-> <.x, y>. e. `'R)
12	10, 11	bitr3 175	. . . . . 6 |- (yRx <-> <.x, y>. e. `'R)
13	7, 12	anbi12i 482	. . . . 5 |- ((xRy /\ yRx) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
14		elin 2203	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
15	13, 14	bitr4 176	. . . 4 |- ((xRy /\ yRx) <-> <.x, y>. e. (R i^i `'R))
16	9	ideq 3272	. . . . 5 |- (xIy <-> x = y)
17		df-br 2615	. . . . 5 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
18	16, 17	bitr3 175	. . . 4 |- (x = y <-> <.x, y>. e. I)
19	15, 18	imbi12i 188	. . 3 |- (((xRy /\ yRx) -> x = y) <-> (<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I))
20	19	2albii 998	. 2 |- (A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I))
21	6, 20	bitr4 176	1 |- ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956   i^i cin 2042   (_ wss 2043  <.cop 2407   class class class wbr 2614  Icid 2826  `'ccnv 3164  Rel wrel 3170

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181

Copyright terms: Public domain