Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intopcoaconlem3b Unicode version

Theorem intopcoaconlem3b 24906
Description: The underlying set of the initial topology is the domain of the mappings  F. (Contributed by FL, 24-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
intopcoacon.1  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
Assertion
Ref Expression
intopcoaconlem3b  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. J  =  X )
Distinct variable groups:    i, o, x, I    A, i, x   
i, X, o, x   
o, F, x    i, K, o, x    B, i   
o, J
Allowed substitution hints:    A( o)    B( x, o)    F( i)    J( x, i)

Proof of Theorem intopcoaconlem3b
StepHypRef Expression
1 intopcoacon.1 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
21unieqi 3811 . 2  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
3 simp1l 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  I  e.  A )
4 abrexexg 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
54adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
65ralimi 2593 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  A. i  e.  I  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
763ad2ant3 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  A. i  e.  I  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
8 abrexex2g 5702 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. i  e.  I  {
x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
93, 7, 8syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
10 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
1110elsubops 24900 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
129, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } 
C_  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
13 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
1413topopn 16615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  K )
15 fimacnv 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> U. K  ->  ( `' F " U. K )  =  X )
1615eqcomd 2263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> U. K  ->  X  =  ( `' F " U. K
) )
1714, 16anim12i 551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( U. K  e.  K  /\  X  =  ( `' F " U. K ) ) )
1817a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  i  e.  I )  ->  (
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( U. K  e.  K  /\  X  =  ( `' F " U. K ) ) ) )
19 imaeq2 4996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  =  U. K  -> 
( `' F "
o )  =  ( `' F " U. K
) )
2019eqeq2d 2269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  =  U. K  -> 
( X  =  ( `' F " o )  <-> 
X  =  ( `' F " U. K
) ) )
2120rcla4ev 2859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. K  e.  K  /\  X  =  ( `' F " U. K
) )  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
2218, 21syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  i  e.  I )  ->  (
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2322reximdva0 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2423ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  (
I  e.  A  /\  X  e.  B )
)  ->  E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
25 r19.35 2662 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )  <->  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2624, 25sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  (
I  e.  A  /\  X  e.  B )
)  ->  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2726expcom 426 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( I  =/=  (/)  ->  ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) ) )
28273imp 1150 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
29 simp1r 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  X  e.  B )
30 eqeq1 2264 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  ( `' F " o )  <-> 
X  =  ( `' F " o ) ) )
31302rexbidv 2561 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
3231elabg 2890 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
3329, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  ( X  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
3428, 33mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  X  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )
3512, 34sseldd 3156 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  X  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
36 tg1 16665 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  t  C_ 
U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
37 fiuni 7149 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
389, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
39 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  t  e. 
_V
40 eqeq1 2264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( `' F " o )  <-> 
t  =  ( `' F " o ) ) )
41402rexbidv 2561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) ) )
4239, 41elab 2889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )
43 r19.29 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  /\  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) ) )
44 fdm 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : X --> U. K  ->  dom  F  =  X )
4544eqcomd 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : X --> U. K  ->  X  =  dom  F
)
46 cnvimass 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( `' F " o ) 
C_  dom  F
47 sseq1 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  =  ( `' F " o )  ->  (
t  C_  dom  F  <->  ( `' F " o )  C_  dom  F ) )
4846, 47mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_ 
dom  F )
4948rexlimivw 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_ 
dom  F )
50 sseq2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  dom  F  -> 
( t  C_  X  <->  t 
C_  dom  F )
)
5149, 50syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  dom  F  -> 
( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X
) )
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : X --> U. K  ->  ( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X
) )
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X ) )
5453imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  t  C_  X )
5554rexlimivw 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  t  C_  X )
5643, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  t  C_  X )
5756ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  -> 
( E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X
) )
58573ad2ant3 983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  -> 
t  C_  X )
)
5958com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  (
( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K ) )  ->  t  C_  X
) )
6042, 59sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K ) )  ->  t  C_  X
) )
6160impcom 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K ) )  /\  t  e.  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X )
6261ralrimiva 2601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  A. t  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } t 
C_  X )
63 unissb 3831 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X 
<-> 
A. t  e.  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } t  C_  X
)
6462, 63sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X )
65 sstr2 3161 . . . . . . . . 9  |-  ( t 
C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X  ->  t 
C_  X ) )
6664, 65syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  t  C_  X
) )
67 sseq2 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( t  C_ 
U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  <-> 
t  C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
6867imbi1d 310 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( (
t  C_  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X )  <->  ( t  C_ 
U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  t  C_  X
) ) )
6966, 68syl5ibr 214 . . . . . . 7  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( (
( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  C_  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X ) ) )
7069eqcoms 2261 . . . . . 6  |-  ( U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  (
( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K ) )  ->  ( t  C_  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X ) ) )
7138, 70mpcom 34 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  C_  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X ) )
7236, 71syl5 30 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  -> 
t  C_  X )
)
7372ralrimiv 2600 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  A. t  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) t  C_  X
)
74 ssunieq 3834 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  /\  A. t  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) t 
C_  X )  ->  X  =  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
7574eqcomd 2263 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  /\  A. t  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) t 
C_  X )  ->  U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  X )
7635, 73, 75syl2anc 645 . 2  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  X )
772, 76syl5eq 2302 1  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. J  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   (/)c0 3430   U.cuni 3801   `'ccnv 4660   dom cdm 4661   "cima 4664   -->wf 4669   ` cfv 4673   ficfi 7132   topGenctg 13305   Topctop 16594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-en 6832  df-fin 6835  df-fi 7133  df-topgen 13307  df-top 16599  df-bases 16601
  Copyright terms: Public domain W3C validator