Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intrn Unicode version

Theorem intrn 24999
Description: Condition for an interval to belong to the range of  (,) (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
intrn  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )

Proof of Theorem intrn
StepHypRef Expression
1 ioof 10736 . 2  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5355 . 2  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 fnovrn 5957 . . 3  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
433expib 1156 . 2  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) ) )
51, 2, 4mp2b 11 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1685   ~Pcpw 3627    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5217   -->wf 5218  (class class class)co 5820   RRcr 8732   RR*cxr 8862   (,)cioo 10651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-ioo 10655
  Copyright terms: Public domain W3C validator