Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intrn Unicode version

Theorem intrn 24966
Description: Condition for an interval to belong to the range of  (,) (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
intrn  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )

Proof of Theorem intrn
StepHypRef Expression
1 ioof 10707 . 2  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5327 . 2  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 fnovrn 5929 . . 3  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
433expib 1159 . 2  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) ) )
51, 2, 4mp2b 11 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   ~Pcpw 3599    X. cxp 4659   ran crn 4662    Fn wfn 4668   -->wf 4669  (class class class)co 5792   RRcr 8704   RR*cxr 8834   (,)cioo 10622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-ioo 10626
  Copyright terms: Public domain W3C validator