Theorem intss 2544

Description: Intersection of subclasses.

Assertion

Ref	Expression
intss	|- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Proof of Theorem intss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imim1 15	. . . . 5 |- ((y e. A -> y e. B) -> ((y e. B -> x e. y) -> (y e. A -> x e. y)))
2	1	19.20ii 992	. . . 4 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (A.y(y e. B -> x e. y) -> A.y(y e. A -> x e. y)))
3		visset 1804	. . . . 5 |- x e. V
4	3	elint 2529	. . . 4 |- (x e. |^|B <-> A.y(y e. B -> x e. y))
5	3	elint 2529	. . . 4 |- (x e. |^|A <-> A.y(y e. A -> x e. y))
6	2, 4, 5	3imtr4g 551	. . 3 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (x e. |^|B -> x e. |^|A))
7	6	19.21aiv 1281	. 2 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
8		dfss2 2048	. 2 |- (A (_ B <-> A.y(y e. A -> y e. B))
9		dfss2 2048	. 2 |- (|^|B (_ |^|A <-> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
10	7, 8, 9	3imtr4 219	1 |- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 951   e. wcel 955   (_ wss 2037  |^|cint 2523

This theorem is referenced by:  intabs 2723  abfii4 4538  rankval3 4653  rankr1id 4669  rankval4 4674  cfub 4880  cflim 4881  cflecard 4884  cfom 4888  clsss 7629  hsupss 9224  spanss 9233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-v 1803  df-in 2041  df-ss 2043  df-int 2524

Copyright terms: Public domain