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Theorem intun 4046
Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
intun  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )

Proof of Theorem intun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.26 1600 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
2 elun 3452 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32imbi1i 316 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y ) )
4 jaob 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( (
y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
53, 4bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
65albii 1572 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  A. y
( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
7 vex 2923 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
87elint 4020 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y ) )
97elint 4020 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| B  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  e.  y ) )
108, 9anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
111, 6, 103bitr4i 269 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
127elint 4020 . . 3  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  A. y
( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y ) )
13 elin 3494 . . 3  |-  ( x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
1411, 12, 133bitr4i 269 . 2  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B ) )
1514eqriv 2405 1  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3282    i^i cin 3283   |^|cint 4014
This theorem is referenced by:  intunsn  4053  riinint  5089  fiin  7389  elfiun  7397  elrfi  26642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-v 2922  df-un 3289  df-in 3291  df-int 4015
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