Theorem intun 4046

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
intun	|- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Proof of Theorem intun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 1600	. . . 4 |- ( A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
2		elun 3452	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3	2	imbi1i 316	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) )
4		jaob 759	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
5	3, 4	bitri 241	. . . . 5 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
6	5	albii 1572	. . . 4 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
7		vex 2923	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	elint 4020	. . . . 5 |- ( x e. |^| A <-> A. y ( y e. A -> x e. y ) )
9	7	elint 4020	. . . . 5 |- ( x e. |^| B <-> A. y ( y e. B -> x e. y ) )
10	8, 9	anbi12i 679	. . . 4 |- ( ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 269	. . 3 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
12	7	elint 4020	. . 3 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) )
13		elin 3494	. . 3 |- ( x e. ( |^| A i^i |^| B ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 269	. 2 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> x e. ( |^| A i^i |^| B ) )
15	14	eqriv 2405	1 |- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 358   /\ wa 359   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   u. cun 3282   i^i cin 3283   |^|cint 4014

This theorem is referenced by:  intunsn  4053  riinint  5089  fiin  7389  elfiun  7397  elrfi  26642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-v 2922  df-un 3289  df-in 3291  df-int 4015