Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invco Unicode version

Theorem invco 13984
 Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism, and the inverse is the composition of the individual inverses. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b
invfval.n Inv
invfval.c
invfval.x
invfval.y
isoval.n
invinv.f
invco.o comp
invco.z
invco.f
Assertion
Ref Expression
invco

Proof of Theorem invco
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . 3
2 invco.o . . 3 comp
3 eqid 2435 . . 3 Sect Sect
4 invfval.c . . 3
5 invfval.x . . 3
6 invfval.y . . 3
7 invco.z . . 3
8 invinv.f . . . . . . 7
9 invfval.n . . . . . . . 8 Inv
10 isoval.n . . . . . . . 8
111, 9, 4, 5, 6, 10isoval 13978 . . . . . . 7
128, 11eleqtrd 2511 . . . . . 6
131, 9, 4, 5, 6invfun 13977 . . . . . . 7
14 funfvbrb 5834 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
1612, 15mpbid 202 . . . . 5
171, 9, 4, 5, 6, 3isinv 13973 . . . . 5 Sect Sect
1816, 17mpbid 202 . . . 4 Sect Sect
1918simpld 446 . . 3 Sect
20 invco.f . . . . . . 7
211, 9, 4, 6, 7, 10isoval 13978 . . . . . . 7
2220, 21eleqtrd 2511 . . . . . 6
231, 9, 4, 6, 7invfun 13977 . . . . . . 7
24 funfvbrb 5834 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2622, 25mpbid 202 . . . . 5
271, 9, 4, 6, 7, 3isinv 13973 . . . . 5 Sect Sect
2826, 27mpbid 202 . . . 4 Sect Sect
2928simpld 446 . . 3 Sect
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 29sectco 13970 . 2 Sect
3128simprd 450 . . 3 Sect
3218simprd 450 . . 3 Sect
331, 2, 3, 4, 7, 6, 5, 31, 32sectco 13970 . 2 Sect
341, 9, 4, 5, 7, 3isinv 13973 . 2 Sect Sect
3530, 33, 34mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204   cdm 4869   wfun 5439  cfv 5445  (class class class)co 6072  cbs 13457  compcco 13529  ccat 13877  Sectcsect 13958  Invcinv 13959   ciso 13960 This theorem is referenced by:  isoco  13986 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-cat 13881  df-cid 13882  df-sect 13961  df-inv 13962  df-iso 13963
 Copyright terms: Public domain W3C validator