Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invco Unicode version

Theorem invco 13600
 Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism, and the inverse is the composition of the individual inverses. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b
invfval.n Inv
invfval.c
invfval.x
invfval.y
isoval.n
invinv.f
invco.o comp
invco.z
invco.f
Assertion
Ref Expression
invco

Proof of Theorem invco
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . 3
2 invco.o . . 3 comp
3 eqid 2256 . . 3 Sect Sect
4 invfval.c . . 3
5 invfval.x . . 3
6 invfval.y . . 3
7 invco.z . . 3
8 invinv.f . . . . . . 7
9 invfval.n . . . . . . . 8 Inv
10 isoval.n . . . . . . . 8
111, 9, 4, 5, 6, 10isoval 13594 . . . . . . 7
128, 11eleqtrd 2332 . . . . . 6
131, 9, 4, 5, 6invfun 13593 . . . . . . 7
14 funfvbrb 5537 . . . . . . 7
1513, 14syl 17 . . . . . 6
1612, 15mpbid 203 . . . . 5
171, 9, 4, 5, 6, 3isinv 13589 . . . . 5 Sect Sect
1816, 17mpbid 203 . . . 4 Sect Sect
1918simpld 447 . . 3 Sect
20 invco.f . . . . . . 7
211, 9, 4, 6, 7, 10isoval 13594 . . . . . . 7
2220, 21eleqtrd 2332 . . . . . 6
231, 9, 4, 6, 7invfun 13593 . . . . . . 7
24 funfvbrb 5537 . . . . . . 7
2523, 24syl 17 . . . . . 6
2622, 25mpbid 203 . . . . 5
271, 9, 4, 6, 7, 3isinv 13589 . . . . 5 Sect Sect
2826, 27mpbid 203 . . . 4 Sect Sect
2928simpld 447 . . 3 Sect
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 29sectco 13586 . 2 Sect
3128simprd 451 . . 3 Sect
3218simprd 451 . . 3 Sect
331, 2, 3, 4, 7, 6, 5, 31, 32sectco 13586 . 2 Sect
341, 9, 4, 5, 7, 3isinv 13589 . 2 Sect Sect
3530, 33, 34mpbir2and 893 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  cop 3584   class class class wbr 3963   cdm 4626   wfun 4632  cfv 4638  (class class class)co 5757  cbs 13075  compcco 13147  ccat 13493  Sectcsect 13574  Invcinv 13575   ciso 13576 This theorem is referenced by:  isoco  13602 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-cat 13497  df-cid 13498  df-sect 13577  df-inv 13578  df-iso 13579
 Copyright terms: Public domain W3C validator