HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ioo0 8300
Description: An empty open interval of extended reals.
Assertion
Ref Expression
ioo0 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))

Proof of Theorem ioo0
StepHypRef Expression
1 iooval 8299 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR* | (A < x /\ x < B)})
21eqeq1d 1961 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/)))
3 df-ne 2073 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> -. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/))
4 rabn0 2940 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
53, 4bitr3i 256 . . . . 5 |- (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
6 xrlttr 8173 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
763com23 1154 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
873expa 1148 . . . . . . 7 |- (((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
98rexlimdva 2276 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) -> A < B))
10 qbtwnxr 8213 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. QQ (A < x /\ x < B))
11 qre 8124 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. RR)
12 rexr 7119 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. RR*)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . 10 |- (x e. QQ -> x e. RR*)
1413anim1i 567 . . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ (A < x /\ x < B)) -> (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)))
1514reximi2 2258 . . . . . . . 8 |- (E.x e. QQ (A < x /\ x < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
17163expia 1150 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B)))
189, 17impbid 191 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) <-> A < B))
195, 18syl5bb 262 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> A < B))
20 xrltnle 7125 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))
2119, 20bitrd 258 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> -. B <_ A))
2221con4bid 299 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> B <_ A))
232, 22bitrd 258 1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 377   /\ w3a 937   = wceq 1449   e. wcel 1451   =/= wne 2071  E.wrex 2163  {crab 2165  (/)c0 2921   class class class wbr 3373  (class class class)co 4931  RRcr 6997   <_ cle 7106  RR*cxr 7109   < clt 7110  QQcq 7227  (,)cioo 8276
This theorem is referenced by:  ioon0 8301  ndmioo 8302  iooid 8303  bndth 11410  ioombl 12071  itgsubstlem 12405  oisbmi 15953  oisbmj 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-inf2 6071  ax-resscn 7052  ax-1cn 7053  ax-icn 7054  ax-addcl 7055  ax-addrcl 7056  ax-mulcl 7057  ax-mulrcl 7058  ax-mulcom 7059  ax-addass 7060  ax-mulass 7061  ax-distr 7062  ax-i2m1 7063  ax-1ne0 7064  ax-1rid 7065  ax-rnegex 7066  ax-rrecex 7067  ax-cnre 7068  ax-pre-lttri 7069  ax-pre-lttrn 7070  ax-pre-ltadd 7071  ax-pre-mulgt0 7072  ax-pre-sup 7073
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1345  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-nel 2074  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-if 3023  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3971  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-f1 4029  df-fo 4030  df-f1o 4031  df-fv 4032  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5068  df-mpt2 5069  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5270  df-rdg 5356  df-er 5530  df-map 5618  df-en 5675  df-dom 5676  df-sdom 5677  df-riota 5818  df-sup 5992  df-pnf 7111  df-mnf 7112  df-xr 7113  df-ltxr 7114  df-le 7115  df-sub 7240  df-neg 7242  df-div 7466  df-n 7704  df-n0 7874  df-z 7918  df-uz 8038  df-q 8120  df-ioo 8280
Copyright terms: Public domain