HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ioo0 8681
Description: An empty open interval of extended reals.
Assertion
Ref Expression
ioo0

Proof of Theorem ioo0
StepHypRef Expression
1 iooval 8680 . . 3
21eqeq1d 1926 . 2
3 df-ne 2037 . . . . . 6
4 rabn0 2926 . . . . . 6
53, 4bitr3i 240 . . . . 5
6 xrlttr 8550 . . . . . . . . 9
763com23 1118 . . . . . . . 8
873expa 1112 . . . . . . 7
98rexlimdva 2242 . . . . . 6
10 qbtwnxr 8592 . . . . . . . 8
11 qre 8501 . . . . . . . . . . 11
12 rexr 7379 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10
1413anim1i 545 . . . . . . . . 9
1514reximi2 2224 . . . . . . . 8
1610, 15syl 15 . . . . . . 7
17163expia 1114 . . . . . 6
189, 17impbid 181 . . . . 5
195, 18syl5bb 246 . . . 4
20 xrltnle 7389 . . . 4
2119, 20bitrd 242 . . 3
2221con4bid 282 . 2
232, 22bitrd 242 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 174   wa 357   w3a 899   wceq 1414   wcel 1416   wne 2035  wrex 2128  crab 2130  c0 2907   class class class wbr 3396  (class class class)co 5032  cr 7256   cle 7366  cxr 7369   clt 7370  cq 7493  cioo 8656
This theorem is referenced by:  ioon0 8682  iooid 8684  bndth 12977  ioombl 13669  itgsubstlem 14084  oisbmi 18507  oisbmj 18508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3481  ax-sep 3491  ax-nul 3500  ax-pow 3536  ax-pr 3560  ax-un 3836  ax-inf2 6289  ax-resscn 7311  ax-1cn 7312  ax-icn 7313  ax-addcl 7314  ax-addrcl 7315  ax-mulcl 7316  ax-mulrcl 7317  ax-mulcom 7318  ax-addass 7319  ax-mulass 7320  ax-distr 7321  ax-i2m1 7322  ax-1ne0 7323  ax-1rid 7324  ax-rnegex 7325  ax-rrecex 7326  ax-cnre 7327  ax-pre-lttri 7328  ax-pre-lttrn 7329  ax-pre-ltadd 7330  ax-pre-mulgt0 7331  ax-pre-sup 7332
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2329  df-sbc 2496  df-csb 2578  df-dif 2640  df-un 2642  df-in 2644  df-ss 2648  df-pss 2650  df-nul 2908  df-if 3015  df-pw 3075  df-sn 3092  df-pr 3093  df-tp 3094  df-op 3095  df-uni 3247  df-iun 3320  df-br 3397  df-opab 3450  df-tr 3465  df-eprel 3646  df-id 3650  df-po 3655  df-so 3669  df-fr 3689  df-we 3705  df-ord 3721  df-on 3722  df-lim 3723  df-suc 3724  df-om 4001  df-xp 4048  df-rel 4049  df-cnv 4050  df-co 4051  df-dm 4052  df-rn 4053  df-res 4054  df-ima 4055  df-fun 4056  df-fn 4057  df-f 4058  df-f1 4059  df-fo 4060  df-f1o 4061  df-fv 4062  df-ov 5034  df-oprab 5035  df-mpt 5196  df-mpt2 5197  df-1st 5333  df-2nd 5334  df-iota 5444  df-rdg 5535  df-er 5710  df-map 5802  df-en 5869  df-dom 5870  df-sdom 5871  df-riota 6022  df-sup 6201  df-pnf 7371  df-mnf 7372  df-xr 7373  df-ltxr 7374  df-le 7375  df-sub 7506  df-neg 7508  df-div 7734  df-n 7974  df-n0 8166  df-z 8217  df-uz 8411  df-q 8497  df-ioo 8660
Copyright terms: Public domain