HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ioo0 8403
Description: An empty open interval of extended reals.
Assertion
Ref Expression
ioo0 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))

Proof of Theorem ioo0
StepHypRef Expression
1 iooval 8402 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR* | (A < x /\ x < B)})
21eqeq1d 2083 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/)))
3 df-ne 2203 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> -. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/))
4 rabn0 3067 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
53, 4bitr3i 282 . . . . 5 |- (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
6 xrlttr 8253 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
763com23 1233 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
873expa 1227 . . . . . . 7 |- (((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
98rexlimdva 2403 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) -> A < B))
10 qbtwnxr 8289 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. QQ (A < x /\ x < B))
11 qre 8204 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. RR)
12 rexr 7210 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. RR*)
1311, 12syl 13 . . . . . . . . . 10 |- (x e. QQ -> x e. RR*)
1413anim1i 623 . . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ (A < x /\ x < B)) -> (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)))
1514reximi2 2385 . . . . . . . 8 |- (E.x e. QQ (A < x /\ x < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
1610, 15syl 13 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
17163expia 1229 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B)))
189, 17impbid 210 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) <-> A < B))
195, 18syl5bb 289 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> A < B))
20 xrltnle 7215 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))
2119, 20bitrd 284 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> -. B <_ A))
2221con4bid 330 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> B <_ A))
232, 22bitrd 284 1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 203   /\ wa 412   /\ w3a 1018   = wceq 1573   e. wcel 1575   =/= wne 2201  E.wrex 2294  {crab 2296  (/)c0 3048   class class class wbr 3492  (class class class)co 5050  RRcr 7088   <_ cle 7197  RR*cxr 7200   < clt 7201  QQcq 7317  (,)cioo 8383
This theorem is referenced by:  ioon0 8404  ndmioo 8405  iooid 8406  oisbmi 15575  oisbmj 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1497  ax-6 1498  ax-7 1499  ax-gen 1500  ax-8 1577  ax-10 1578  ax-11 1579  ax-12 1580  ax-13 1581  ax-14 1582  ax-17 1589  ax-9 1603  ax-4 1609  ax-16 1786  ax-15 1949  ax-ext 2057  ax-rep 3582  ax-sep 3592  ax-nul 3602  ax-pow 3638  ax-pr 3662  ax-un 3930  ax-inf2 6120  ax-resscn 7143  ax-1cn 7144  ax-icn 7145  ax-addcl 7146  ax-addrcl 7147  ax-mulcl 7148  ax-mulrcl 7149  ax-mulcom 7150  ax-addass 7151  ax-mulass 7152  ax-distr 7153  ax-i2m1 7154  ax-1ne0 7155  ax-1rid 7156  ax-rnegex 7157  ax-rrecex 7158  ax-cnre 7159  ax-pre-lttri 7160  ax-pre-lttrn 7161  ax-pre-ltadd 7162  ax-pre-mulgt0 7163  ax-pre-sup 7164
This theorem depends on definitions:  df-bi 204  df-or 413  df-an 414  df-3or 1019  df-3an 1020  df-ex 1502  df-sb 1748  df-eu 1975  df-mo 1976  df-clab 2063  df-cleq 2068  df-clel 2071  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2297  df-rex 2298  df-reu 2299  df-rab 2300  df-v 2484  df-sbc 2654  df-csb 2728  df-dif 2787  df-un 2789  df-in 2791  df-ss 2793  df-pss 2795  df-nul 3049  df-if 3149  df-pw 3205  df-sn 3220  df-pr 3221  df-tp 3223  df-op 3224  df-uni 3348  df-int 3382  df-iun 3420  df-br 3493  df-opab 3551  df-tr 3566  df-eprel 3745  df-id 3748  df-po 3753  df-so 3765  df-fr 3783  df-we 3799  df-ord 3815  df-on 3816  df-lim 3817  df-suc 3818  df-om 4087  df-xp 4134  df-rel 4135  df-cnv 4136  df-co 4137  df-dm 4138  df-rn 4139  df-res 4140  df-ima 4141  df-fun 4142  df-fn 4143  df-f 4144  df-f1 4145  df-fo 4146  df-f1o 4147  df-fv 4148  df-opr 5052  df-oprab 5053  df-mpt 5185  df-mpt2 5186  df-1st 5251  df-2nd 5252  df-iota 5357  df-rdg 5443  df-er 5620  df-map 5688  df-en 5735  df-dom 5736  df-sdom 5737  df-riota 5879  df-sup 6042  df-pnf 7202  df-mnf 7203  df-xr 7204  df-ltxr 7205  df-le 7206  df-sub 7330  df-neg 7332  df-div 7547  df-n 7753  df-n0 7989  df-z 8028  df-uz 8127  df-q 8201  df-ioo 8387
Copyright terms: Public domain