MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioo0 Unicode version

Theorem ioo0 10648
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioo0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem ioo0
StepHypRef Expression
1 iooval 10647 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) } )
21eqeq1d 2266 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/) ) )
3 df-ne 2423 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =/=  (/)  <->  -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/) )
4 rabn0 3449 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )
53, 4bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
6 xrlttr 10442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B
) )
763com23 1162 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B
) )
873expa 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  < 
x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B ) )
98rexlimdva 2642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B ) )
10 qbtwnxr 10494 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
11 qre 10289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
1211rexrd 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR* )
1312anim1i 554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )  ->  ( x  e. 
RR*  /\  ( A  <  x  /\  x  < 
B ) ) )
1413reximi2 2624 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
1510, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
16153expia 1158 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
179, 16impbid 185 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <  x  /\  x  <  B )  <->  A  <  B ) )
185, 17syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  A  <  B ) )
19 xrltnle 8859 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
2018, 19bitrd 246 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  -.  B  <_  A ) )
2120con4bid 286 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
222, 21bitrd 246 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   E.wrex 2519   {crab 2522   (/)c0 3430   class class class wbr 3997  (class class class)co 5792   RR*cxr 8834    < clt 8835    <_ cle 8836   QQcq 10284   (,)cioo 10623
This theorem is referenced by:  ioon0  10649  iooid  10651  bndth  18419  ioombl  18885  itgsubstlem  19358  oisbmi  24871  oisbmj  24872  ioovolcl  27111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-q 10285  df-ioo 10627
  Copyright terms: Public domain W3C validator