MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioo0 Unicode version

Theorem ioo0 10897
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioo0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem ioo0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 10896 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) } )
21eqeq1d 2412 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/) ) )
3 df-ne 2569 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =/=  (/)  <->  -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/) )
4 rabn0 3607 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )
53, 4bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
6 xrlttr 10689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B
) )
763com23 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B
) )
873expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  < 
x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B ) )
98rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  A  <  B ) )
10 qbtwnxr 10742 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
11 qre 10535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
1211rexrd 9090 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR* )
1312anim1i 552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )  ->  ( x  e. 
RR*  /\  ( A  <  x  /\  x  < 
B ) ) )
1413reximi2 2772 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
1510, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
16153expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  RR*  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
179, 16impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <  x  /\  x  <  B )  <->  A  <  B ) )
185, 17syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  A  <  B ) )
19 xrltnle 9100 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
2018, 19bitrd 245 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  -.  B  <_  A ) )
2120con4bid 285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
222, 21bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670   (/)c0 3588   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   QQcq 10530   (,)cioo 10872
This theorem is referenced by:  ioon0  10898  iooid  10900  bndth  18936  ioombl  19412  itgsubstlem  19885  ioovolcl  27609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-ioo 10876
  Copyright terms: Public domain W3C validator