HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ioo0 8295
Description: An empty open interval of extended reals.
Assertion
Ref Expression
ioo0 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))

Proof of Theorem ioo0
StepHypRef Expression
1 iooval 8294 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR* | (A < x /\ x < B)})
21eqeq1d 1946 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/)))
3 df-ne 2058 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> -. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/))
4 rabn0 2925 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
53, 4bitr3i 241 . . . . 5 |- (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
6 xrlttr 8168 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
763com23 1138 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
873expa 1132 . . . . . . 7 |- (((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
98rexlimdva 2261 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) -> A < B))
10 qbtwnxr 8208 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. QQ (A < x /\ x < B))
11 qre 8119 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. RR)
12 rexr 7113 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. RR*)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . 10 |- (x e. QQ -> x e. RR*)
1413anim1i 553 . . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ (A < x /\ x < B)) -> (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)))
1514reximi2 2243 . . . . . . . 8 |- (E.x e. QQ (A < x /\ x < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
17163expia 1134 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B)))
189, 17impbid 181 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) <-> A < B))
195, 18syl5bb 247 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> A < B))
20 xrltnle 7119 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))
2119, 20bitrd 243 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> -. B <_ A))
2221con4bid 284 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> B <_ A))
232, 22bitrd 243 1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 174   /\ wa 361   /\ w3a 921   = wceq 1434   e. wcel 1436   =/= wne 2056  E.wrex 2148  {crab 2150  (/)c0 2906   class class class wbr 3362  (class class class)co 4922  RRcr 6991   <_ cle 7100  RR*cxr 7103   < clt 7104  QQcq 7221  (,)cioo 8271
This theorem is referenced by:  ioon0 8296  ndmioo 8297  iooid 8298  bndth 11506  ioombl 12169  itgsubstlem 12503  oisbmi 16139  oisbmj 16140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-rep 3448  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pow 3503  ax-pr 3527  ax-un 3799  ax-inf2 6064  ax-resscn 7046  ax-1cn 7047  ax-icn 7048  ax-addcl 7049  ax-addrcl 7050  ax-mulcl 7051  ax-mulrcl 7052  ax-mulcom 7053  ax-addass 7054  ax-mulass 7055  ax-distr 7056  ax-i2m1 7057  ax-1ne0 7058  ax-1rid 7059  ax-rnegex 7060  ax-rrecex 7061  ax-cnre 7062  ax-pre-lttri 7063  ax-pre-lttrn 7064  ax-pre-ltadd 7065  ax-pre-mulgt0 7066  ax-pre-sup 7067
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-nel 2059  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3009  df-pw 3067  df-sn 3084  df-pr 3085  df-tp 3086  df-op 3087  df-uni 3218  df-iun 3290  df-br 3363  df-opab 3417  df-tr 3432  df-eprel 3612  df-id 3615  df-po 3620  df-so 3634  df-fr 3653  df-we 3669  df-ord 3685  df-on 3686  df-lim 3687  df-suc 3688  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-ov 4924  df-oprab 4925  df-mpt 5059  df-mpt2 5060  df-1st 5158  df-2nd 5159  df-iota 5263  df-rdg 5349  df-er 5523  df-map 5611  df-en 5668  df-dom 5669  df-sdom 5670  df-riota 5811  df-sup 5985  df-pnf 7105  df-mnf 7106  df-xr 7107  df-ltxr 7108  df-le 7109  df-sub 7234  df-neg 7236  df-div 7460  df-n 7699  df-n0 7869  df-z 7913  df-uz 8033  df-q 8115  df-ioo 8275
Copyright terms: Public domain