HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ioo0 8418
Description: An empty open interval of extended reals.
Assertion
Ref Expression
ioo0 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))

Proof of Theorem ioo0
StepHypRef Expression
1 iooval 8417 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR* | (A < x /\ x < B)})
21eqeq1d 2100 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/)))
3 df-ne 2220 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> -. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/))
4 rabn0 3084 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
53, 4bitr3i 288 . . . . 5 |- (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
6 xrlttr 8269 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
763com23 1252 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
873expa 1246 . . . . . . 7 |- (((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
98rexlimdva 2420 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) -> A < B))
10 qbtwnxr 8305 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. QQ (A < x /\ x < B))
11 qre 8220 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. RR)
12 rexr 7227 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. RR*)
1311, 12syl 13 . . . . . . . . . 10 |- (x e. QQ -> x e. RR*)
1413anim1i 638 . . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ (A < x /\ x < B)) -> (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)))
1514reximi2 2402 . . . . . . . 8 |- (E.x e. QQ (A < x /\ x < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
1610, 15syl 13 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
17163expia 1248 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B)))
189, 17impbid 216 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) <-> A < B))
195, 18syl5bb 295 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> A < B))
20 xrltnle 7232 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))
2119, 20bitrd 290 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> -. B <_ A))
2221con4bid 336 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> B <_ A))
232, 22bitrd 290 1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 209   /\ wa 418   /\ w3a 1037   = wceq 1592   e. wcel 1594   =/= wne 2218  E.wrex 2311  {crab 2313  (/)c0 3065   class class class wbr 3509  (class class class)co 5067  RRcr 7105   <_ cle 7214  RR*cxr 7217   < clt 7218  QQcq 7334  (,)cioo 8398
This theorem is referenced by:  ioon0 8419  ndmioo 8420  iooid 8421  oisbmi 15353  oisbmj 15354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1516  ax-6 1517  ax-7 1518  ax-gen 1519  ax-8 1596  ax-10 1597  ax-11 1598  ax-12 1599  ax-13 1600  ax-14 1601  ax-17 1608  ax-9 1620  ax-4 1626  ax-16 1803  ax-15 1966  ax-ext 2074  ax-rep 3599  ax-sep 3609  ax-nul 3619  ax-pow 3655  ax-pr 3679  ax-un 3947  ax-inf2 6137  ax-resscn 7160  ax-1cn 7161  ax-icn 7162  ax-addcl 7163  ax-addrcl 7164  ax-mulcl 7165  ax-mulrcl 7166  ax-mulcom 7167  ax-addass 7168  ax-mulass 7169  ax-distr 7170  ax-i2m1 7171  ax-1ne0 7172  ax-1rid 7173  ax-rnegex 7174  ax-rrecex 7175  ax-cnre 7176  ax-pre-lttri 7177  ax-pre-lttrn 7178  ax-pre-ltadd 7179  ax-pre-mulgt0 7180  ax-pre-sup 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 419  df-an 420  df-3or 1038  df-3an 1039  df-ex 1521  df-sb 1765  df-eu 1992  df-mo 1993  df-clab 2080  df-cleq 2085  df-clel 2088  df-ne 2220  df-nel 2221  df-ral 2314  df-rex 2315  df-reu 2316  df-rab 2317  df-v 2501  df-sbc 2671  df-csb 2745  df-dif 2804  df-un 2806  df-in 2808  df-ss 2810  df-pss 2812  df-nul 3066  df-if 3166  df-pw 3222  df-sn 3237  df-pr 3238  df-tp 3240  df-op 3241  df-uni 3365  df-int 3399  df-iun 3437  df-br 3510  df-opab 3568  df-tr 3583  df-eprel 3762  df-id 3765  df-po 3770  df-so 3782  df-fr 3800  df-we 3816  df-ord 3832  df-on 3833  df-lim 3834  df-suc 3835  df-om 4104  df-xp 4151  df-rel 4152  df-cnv 4153  df-co 4154  df-dm 4155  df-rn 4156  df-res 4157  df-ima 4158  df-fun 4159  df-fn 4160  df-f 4161  df-f1 4162  df-fo 4163  df-f1o 4164  df-fv 4165  df-opr 5069  df-oprab 5070  df-mpt 5202  df-mpt2 5203  df-1st 5268  df-2nd 5269  df-iota 5374  df-rdg 5460  df-er 5637  df-map 5705  df-en 5752  df-dom 5753  df-sdom 5754  df-riota 5896  df-sup 6059  df-pnf 7219  df-mnf 7220  df-xr 7221  df-ltxr 7222  df-le 7223  df-sub 7347  df-neg 7349  df-div 7564  df-n 7769  df-n0 8005  df-z 8044  df-uz 8143  df-q 8217  df-ioo 8402
Copyright terms: Public domain