HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ioo0 8287
Description: An empty open interval of extended reals.
Assertion
Ref Expression
ioo0 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))

Proof of Theorem ioo0
StepHypRef Expression
1 iooval 8286 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR* | (A < x /\ x < B)})
21eqeq1d 1940 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/)))
3 df-ne 2052 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> -. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/))
4 rabn0 2919 . . . . . 6 |- ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} =/= (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
53, 4bitr3i 242 . . . . 5 |- (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
6 xrlttr 8160 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
763com23 1132 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
873expa 1126 . . . . . . 7 |- (((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> A < B))
98rexlimdva 2255 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) -> A < B))
10 qbtwnxr 8200 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. QQ (A < x /\ x < B))
11 qre 8111 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. RR)
12 rexr 7105 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. RR*)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . 10 |- (x e. QQ -> x e. RR*)
1413anim1i 547 . . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ (A < x /\ x < B)) -> (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)))
1514reximi2 2237 . . . . . . . 8 |- (E.x e. QQ (A < x /\ x < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B) -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B))
17163expia 1128 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B -> E.x e. RR* (A < x /\ x < B)))
189, 17impbid 181 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (E.x e. RR* (A < x /\ x < B) <-> A < B))
195, 18syl5bb 248 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> A < B))
20 xrltnle 7111 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))
2119, 20bitrd 244 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> -. B <_ A))
2221con4bid 285 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ({x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = (/) <-> B <_ A))
232, 22bitrd 244 1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A(,)B) = (/) <-> B <_ A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 174   /\ wa 357   /\ w3a 915   = wceq 1428   e. wcel 1430   =/= wne 2050  E.wrex 2142  {crab 2144  (/)c0 2900   class class class wbr 3354  (class class class)co 4914  RRcr 6983   <_ cle 7092  RR*cxr 7095   < clt 7096  QQcq 7213  (,)cioo 8263
This theorem is referenced by:  ioon0 8288  ndmioo 8289  iooid 8290  bndth 11495  ioombl 12158  itgsubstlem 12492  oisbmi 16128  oisbmj 16129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1345  ax-6 1346  ax-7 1347  ax-gen 1348  ax-8 1432  ax-10 1433  ax-11 1434  ax-12 1435  ax-13 1436  ax-14 1437  ax-17 1444  ax-9 1459  ax-4 1465  ax-16 1643  ax-ext 1914  ax-rep 3440  ax-sep 3450  ax-nul 3459  ax-pow 3495  ax-pr 3519  ax-un 3791  ax-inf2 6055  ax-resscn 7038  ax-1cn 7039  ax-icn 7040  ax-addcl 7041  ax-addrcl 7042  ax-mulcl 7043  ax-mulrcl 7044  ax-mulcom 7045  ax-addass 7046  ax-mulass 7047  ax-distr 7048  ax-i2m1 7049  ax-1ne0 7050  ax-1rid 7051  ax-rnegex 7052  ax-rrecex 7053  ax-cnre 7054  ax-pre-lttri 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-sup 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 916  df-3an 917  df-tru 1323  df-ex 1350  df-sb 1605  df-eu 1832  df-mo 1833  df-clab 1920  df-cleq 1925  df-clel 1928  df-ne 2052  df-nel 2053  df-ral 2145  df-rex 2146  df-reu 2147  df-rab 2148  df-v 2339  df-sbc 2504  df-csb 2579  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2901  df-if 3002  df-pw 3060  df-sn 3077  df-pr 3078  df-tp 3079  df-op 3080  df-uni 3210  df-iun 3282  df-br 3355  df-opab 3409  df-tr 3424  df-eprel 3604  df-id 3607  df-po 3612  df-so 3626  df-fr 3645  df-we 3661  df-ord 3677  df-on 3678  df-lim 3679  df-suc 3680  df-om 3954  df-xp 4001  df-rel 4002  df-cnv 4003  df-co 4004  df-dm 4005  df-rn 4006  df-res 4007  df-ima 4008  df-fun 4009  df-fn 4010  df-f 4011  df-f1 4012  df-fo 4013  df-f1o 4014  df-fv 4015  df-ov 4916  df-oprab 4917  df-mpt 5051  df-mpt2 5052  df-1st 5150  df-2nd 5151  df-iota 5254  df-rdg 5340  df-er 5514  df-map 5602  df-en 5659  df-dom 5660  df-sdom 5661  df-riota 5802  df-sup 5976  df-pnf 7097  df-mnf 7098  df-xr 7099  df-ltxr 7100  df-le 7101  df-sub 7226  df-neg 7228  df-div 7452  df-n 7691  df-n0 7861  df-z 7905  df-uz 8025  df-q 8107  df-ioo 8267
Copyright terms: Public domain