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Theorem ioorcl2 19466
Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorcl2  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )

Proof of Theorem ioorcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3639 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( A (,) B
) )
2 elioore 10948 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  RR )
32adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR )
4 peano2re 9241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  e.  RR )
54adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  RR )
63, 5resubcld 9467 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
76rexrd 9136 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
8 eliooxr 10971 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
98adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
113rexrd 9136 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR* )
12 ltp1 9850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
1312adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
14 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  e.  RR )
16 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
17 ioossre 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  C_  RR
18 ovolge0 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( vol * `
 ( A (,) B ) ) )
20 lep1 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2120adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2215, 16, 5, 19, 21letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
233, 5subge02d 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
)
2422, 23mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
25 ovolioo 19464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
266, 3, 24, 25syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
273recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  CC )
285recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  CC )
2927, 28nncand 9418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3026, 29eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol * `
 ( ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
32 iooss1 10953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
3310, 32sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) z ) )
349simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
35 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3635adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3736simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <  B )
38 xrltle 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  <  B  ->  z  <_  B ) )
3911, 34, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  <  B  ->  z  <_  B )
)
4037, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  B )
41 iooss2 10954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4234, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A (,) z
)  C_  ( A (,) B ) )
4342adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4433, 43sstrd 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
45 ovolss 19383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_  ( vol * `  ( A (,) B
) ) )
4644, 17, 45sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol * `
 ( ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
4731, 46eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
4847ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol * `  ( A (,) B ) ) ) )
49 xrlenlt 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  <_  ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <->  -.  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
5010, 7, 49syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <->  -.  ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
515, 16lenltd 9221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5248, 50, 513imtr3d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  < 
A  ->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5313, 52mt4d 133 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A )
5436simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <  z )
55 xrre2 10760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A  /\  A  <  z ) )  ->  A  e.  RR )
567, 10, 11, 53, 54, 55syl32anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
573, 5readdcld 9117 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5857rexrd 9136 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
593, 5addge01d 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
6022, 59mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
61 ovolioo 19464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  <_  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
623, 57, 60, 61syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
6327, 28pncan2d 9415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  -  z
)  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6462, 63eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6564adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
66 iooss2 10954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B )  -> 
( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( z (,) B ) )
6734, 66sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  (
z (,) B ) )
68 xrltle 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z ) )
6910, 11, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
7054, 69mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <_  z )
71 iooss1 10953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  z )  ->  (
z (,) B ) 
C_  ( A (,) B ) )
7210, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
7372adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
7467, 73sstrd 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
75 ovolss 19383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7674, 17, 75sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7765, 76eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7877ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  <_  ( vol * `
 ( A (,) B ) ) ) )
79 xrlenlt 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8058, 34, 79syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8178, 80, 513imtr3d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  B  < 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
8213, 81mt4d 133 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )
83 xrre2 10760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (
z  <  B  /\  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8411, 34, 58, 37, 82, 83syl32anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
8556, 84jca 520 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
8685ex 425 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
8786exlimiv 1645 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  ( A (,) B )  ->  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
881, 87sylbi 189 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
8988imp 420 1  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   (,)cioo 10918   vol *covol 19361
This theorem is referenced by:  ioorcl  19471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cmp 17452  df-ovol 19363  df-vol 19364
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