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Theorem ioorcl2 18943
Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorcl2  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )

Proof of Theorem ioorcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3477 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( A (,) B
) )
2 elioore 10702 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR )
4 peano2re 9001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  e.  RR )
54adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  RR )
63, 5resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
76rexrd 8897 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
8 eliooxr 10725 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
98adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
113rexrd 8897 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR* )
12 ltp1 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
1312adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
14 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
1514a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  e.  RR )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
17 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  C_  RR
18 ovolge0 18856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
1917, 18mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( vol * `
 ( A (,) B ) ) )
20 lep1 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2215, 16, 5, 19, 21letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
233, 5subge02d 9380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
)
2422, 23mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
25 ovolioo 18941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
266, 3, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
273recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  CC )
285recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  CC )
2927, 28nncand 9178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3026, 29eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol * `
 ( ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
32 iooss1 10707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
3310, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) z ) )
349simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
35 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3736simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <  B )
38 xrltle 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  <  B  ->  z  <_  B ) )
3911, 34, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  <  B  ->  z  <_  B )
)
4037, 39mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  B )
41 iooss2 10708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4234, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A (,) z
)  C_  ( A (,) B ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4433, 43sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
45 ovolss 18860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_  ( vol * `  ( A (,) B
) ) )
4644, 17, 45sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol * `
 ( ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
4731, 46eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
4847ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol * `  ( A (,) B ) ) ) )
49 xrlenlt 8906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  <_  ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <->  -.  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
5010, 7, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <->  -.  ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
515, 16lenltd 8981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5248, 50, 513imtr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  < 
A  ->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5313, 52mt4d 130 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A )
5436simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <  z )
55 xrre2 10515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A  /\  A  <  z ) )  ->  A  e.  RR )
567, 10, 11, 53, 54, 55syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
573, 5readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5857rexrd 8897 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
593, 5addge01d 9376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
6022, 59mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
61 ovolioo 18941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  <_  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
623, 57, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
6327, 28pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  -  z
)  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6462, 63eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
66 iooss2 10708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B )  -> 
( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( z (,) B ) )
6734, 66sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  (
z (,) B ) )
68 xrltle 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z ) )
6910, 11, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
7054, 69mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <_  z )
71 iooss1 10707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  z )  ->  (
z (,) B ) 
C_  ( A (,) B ) )
7210, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
7467, 73sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
75 ovolss 18860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7674, 17, 75sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7765, 76eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7877ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  <_  ( vol * `
 ( A (,) B ) ) ) )
79 xrlenlt 8906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8058, 34, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8178, 80, 513imtr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  B  < 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
8213, 81mt4d 130 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )
83 xrre2 10515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (
z  <  B  /\  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8411, 34, 58, 37, 82, 83syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
8556, 84jca 518 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
8685ex 423 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
8786exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  ( A (,) B )  ->  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
881, 87sylbi 187 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
8988imp 418 1  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   (,)cioo 10672   vol *covol 18838
This theorem is referenced by:  ioorcl  18948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841
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