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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ioorf | Unicode version |
Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
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ioorf.1 |
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Ref | Expression |
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ioorf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ioorf.1 |
. 2
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2 | ioof 10962 |
. . . 4
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3 | ffn 5554 |
. . . 4
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4 | ovelrn 6185 |
. . . 4
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5 | 2, 3, 4 | mp2b 10 |
. . 3
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6 | 0le0 10041 |
. . . . . . . . 9
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7 | df-br 4177 |
. . . . . . . . 9
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8 | 6, 7 | mpbi 200 |
. . . . . . . 8
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9 | 0xr 9091 |
. . . . . . . . 9
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10 | opelxpi 4873 |
. . . . . . . . 9
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11 | 9, 9, 10 | mp2an 654 |
. . . . . . . 8
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12 | elin 3494 |
. . . . . . . 8
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13 | 8, 11, 12 | mpbir2an 887 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . 6
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15 | simplr 732 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | supeq1d 7413 |
. . . . . . . . 9
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17 | simplll 735 |
. . . . . . . . . 10
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18 | simpllr 736 |
. . . . . . . . . 10
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19 | simpr 448 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 19 | neneqad 2641 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 15, 20 | eqnetrrd 2591 |
. . . . . . . . . 10
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22 | df-ioo 10880 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | idd 22 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | xrltle 10702 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | idd 22 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | xrltle 10702 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 22, 23, 24, 25, 26 | ixxlb 10898 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 17, 18, 21, 27 | syl3anc 1184 |
. . . . . . . . 9
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29 | 16, 28 | eqtrd 2440 |
. . . . . . . 8
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30 | 15 | supeq1d 7413 |
. . . . . . . . 9
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31 | 22, 23, 24, 25, 26 | ixxub 10897 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 17, 18, 21, 31 | syl3anc 1184 |
. . . . . . . . 9
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33 | 30, 32 | eqtrd 2440 |
. . . . . . . 8
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34 | 29, 33 | opeq12d 3956 |
. . . . . . 7
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35 | ioon0 10902 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | ad2antrr 707 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 21, 36 | mpbid 202 |
. . . . . . . . . 10
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38 | xrltle 10702 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | ad2antrr 707 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 37, 39 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
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41 | df-br 4177 |
. . . . . . . . 9
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42 | 40, 41 | sylib 189 |
. . . . . . . 8
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43 | opelxpi 4873 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | ad2antrr 707 |
. . . . . . . 8
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45 | elin 3494 |
. . . . . . . 8
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46 | 42, 44, 45 | sylanbrc 646 |
. . . . . . 7
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47 | 34, 46 | eqeltrd 2482 |
. . . . . 6
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48 | 14, 47 | ifclda 3730 |
. . . . 5
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49 | 48 | ex 424 |
. . . 4
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50 | 49 | rexlimivv 2799 |
. . 3
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51 | 5, 50 | sylbi 188 |
. 2
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52 | 1, 51 | fmpti 5855 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem is referenced by: ioorcl 19426 uniioombllem2 19432 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2389 ax-sep 4294 ax-nul 4302 ax-pow 4341 ax-pr 4367 ax-un 4664 ax-cnex 9006 ax-resscn 9007 ax-1cn 9008 ax-icn 9009 ax-addcl 9010 ax-addrcl 9011 ax-mulcl 9012 ax-mulrcl 9013 ax-mulcom 9014 ax-addass 9015 ax-mulass 9016 ax-distr 9017 ax-i2m1 9018 ax-1ne0 9019 ax-1rid 9020 ax-rnegex 9021 ax-rrecex 9022 ax-cnre 9023 ax-pre-lttri 9024 ax-pre-lttrn 9025 ax-pre-ltadd 9026 ax-pre-mulgt0 9027 ax-pre-sup 9028 |
This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3or 937 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2262 df-mo 2263 df-clab 2395 df-cleq 2401 df-clel 2404 df-nfc 2533 df-ne 2573 df-nel 2574 df-ral 2675 df-rex 2676 df-reu 2677 df-rmo 2678 df-rab 2679 df-v 2922 df-sbc 3126 df-csb 3216 df-dif 3287 df-un 3289 df-in 3291 df-ss 3298 df-pss 3300 df-nul 3593 df-if 3704 df-pw 3765 df-sn 3784 df-pr 3785 df-tp 3786 df-op 3787 df-uni 3980 df-iun 4059 df-br 4177 df-opab 4231 df-mpt 4232 df-tr 4267 df-eprel 4458 df-id 4462 df-po 4467 df-so 4468 df-fr 4505 df-we 4507 df-ord 4548 df-on 4549 df-lim 4550 df-suc 4551 df-om 4809 df-xp 4847 df-rel 4848 df-cnv 4849 df-co 4850 df-dm 4851 df-rn 4852 df-res 4853 df-ima 4854 df-iota 5381 df-fun 5419 df-fn 5420 df-f 5421 df-f1 5422 df-fo 5423 df-f1o 5424 df-fv 5425 df-ov 6047 df-oprab 6048 df-mpt2 6049 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-riota 6512 df-recs 6596 df-rdg 6631 df-er 6868 df-en 7073 df-dom 7074 df-sdom 7075 df-sup 7408 df-pnf 9082 df-mnf 9083 df-xr 9084 df-ltxr 9085 df-le 9086 df-sub 9253 df-neg 9254 df-div 9638 df-nn 9961 df-n0 10182 df-z 10243 df-uz 10449 df-q 10535 df-ioo 10880 |
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