Theorem iooval2t 6317

Description: Value of the open interval function.

Assertion

Ref	Expression
iooval2t	|- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR | (A < x /\ x < B)})

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem iooval2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioovalt 6316	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR* | (A < x /\ x < B)})
2		xrre2t 5553	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) /\ (A < x /\ x < B)) -> x e. RR)
3	2	ex 373	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> x e. RR))
4	3	3com23 838	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> x e. RR))
5	4	3exp 831	. . . . . . 7 |- (A e. RR* -> (B e. RR* -> (x e. RR* -> ((A < x /\ x < B) -> x e. RR))))
6	5	imp4b 365	. . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)) -> x e. RR))
7		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)) -> (A < x /\ x < B))
8	7	a1i 8	. . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)) -> (A < x /\ x < B)))
9	6, 8	jcad 599	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)) -> (x e. RR /\ (A < x /\ x < B))))
10		rexrt 5482	. . . . . 6 |- (x e. RR -> x e. RR*)
11	10	anim1i 334	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ (A < x /\ x < B)) -> (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)))
12	9, 11	impbid1 516	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((x e. RR* /\ (A < x /\ x < B)) <-> (x e. RR /\ (A < x /\ x < B))))
13	12	abbidv 1575	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> {x | (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B))} = {x | (x e. RR /\ (A < x /\ x < B))})
14		df-rab 1650	. . 3 |- {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = {x | (x e. RR* /\ (A < x /\ x < B))}
15		df-rab 1650	. . 3 |- {x e. RR | (A < x /\ x < B)} = {x | (x e. RR /\ (A < x /\ x < B))}
16	13, 14, 15	3eqtr4g 1529	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> {x e. RR* | (A < x /\ x < B)} = {x e. RR | (A < x /\ x < B)})
17	1, 16	eqtrd 1505	1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = {x e. RR | (A < x /\ x < B)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  {crab 1646   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  RRcr 5216  RR*cxr 5468   < clt 5469  (,)cioo 6307

This theorem is referenced by:  elioo2t 6329  ioomax 6338  ioopos 6339  dfioo2 6349  qdensere 7711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-ltp 5073  df-enr 5149  df-nr 5150  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-c 5223  df-r 5227  df-lt 5230  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-ioo 6311

Copyright terms: Public domain