Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0i Unicode version

Theorem ip0i 21328
 Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1
ip1i.2
ip1i.4
ip1i.7
ip1i.9
ip1i.a
ip1i.b
ip1i.c
ip1i.6 CV
ip0i.j
Assertion
Ref Expression
ip0i

Proof of Theorem ip0i
StepHypRef Expression
1 2cn 9749 . . . 4
2 ip1i.1 . . . . . . 7
3 ip1i.6 . . . . . . 7 CV
4 ip1i.9 . . . . . . . 8
54phnvi 21319 . . . . . . 7
6 ip1i.a . . . . . . . 8
7 ip0i.j . . . . . . . . 9
8 ip1i.c . . . . . . . . 9
9 ip1i.4 . . . . . . . . . 10
102, 9nvscl 21109 . . . . . . . . 9
115, 7, 8, 10mp3an 1282 . . . . . . . 8
12 ip1i.2 . . . . . . . . 9
132, 12nvgcl 21101 . . . . . . . 8
145, 6, 11, 13mp3an 1282 . . . . . . 7
152, 3, 5, 14nvcli 21151 . . . . . 6
1615recni 8782 . . . . 5
1716sqcli 11115 . . . 4
187negcli 9047 . . . . . . . . 9
192, 9nvscl 21109 . . . . . . . . 9
205, 18, 8, 19mp3an 1282 . . . . . . . 8
212, 12nvgcl 21101 . . . . . . . 8
225, 6, 20, 21mp3an 1282 . . . . . . 7
232, 3, 5, 22nvcli 21151 . . . . . 6
2423recni 8782 . . . . 5
2524sqcli 11115 . . . 4
261, 17, 25subdii 9161 . . 3
271, 17mulcli 8775 . . . 4
281, 25mulcli 8775 . . . 4
29 ip1i.b . . . . . . . 8
302, 3, 5, 29nvcli 21151 . . . . . . 7
3130recni 8782 . . . . . 6
3231sqcli 11115 . . . . 5
331, 32mulcli 8775 . . . 4
34 pnpcan2 9020 . . . 4
3527, 28, 33, 34mp3an 1282 . . 3
3626, 35eqtr4i 2279 . 2
37 eqid 2256 . . . . . . . . . 10
3837nvvc 21096 . . . . . . . . 9
3912vafval 21084 . . . . . . . . . 10
4039vcablo 21038 . . . . . . . . 9
415, 38, 40mp2b 11 . . . . . . . 8
426, 29, 113pm3.2i 1135 . . . . . . . 8
432, 12bafval 21085 . . . . . . . . 9
4443ablo32 20878 . . . . . . . 8
4541, 42, 44mp2an 656 . . . . . . 7
4645fveq2i 5426 . . . . . 6
4746oveq1i 5767 . . . . 5
48 neg1cn 9746 . . . . . . . . . 10
492, 9nvscl 21109 . . . . . . . . . 10
505, 48, 29, 49mp3an 1282 . . . . . . . . 9
516, 50, 113pm3.2i 1135 . . . . . . . 8
5243ablo32 20878 . . . . . . . 8
5341, 51, 52mp2an 656 . . . . . . 7
5453fveq2i 5426 . . . . . 6
5554oveq1i 5767 . . . . 5
5647, 55oveq12i 5769 . . . 4
572, 12, 9, 3phpar 21327 . . . . 5
584, 14, 29, 57mp3an 1282 . . . 4
591, 17, 32adddii 8780 . . . 4
6056, 58, 593eqtri 2280 . . 3
616, 29, 203pm3.2i 1135 . . . . . . . 8
6243ablo32 20878 . . . . . . . 8
6341, 61, 62mp2an 656 . . . . . . 7
6463fveq2i 5426 . . . . . 6
6564oveq1i 5767 . . . . 5
666, 50, 203pm3.2i 1135 . . . . . . . 8
6743ablo32 20878 . . . . . . . 8
6841, 66, 67mp2an 656 . . . . . . 7
6968fveq2i 5426 . . . . . 6
7069oveq1i 5767 . . . . 5
7165, 70oveq12i 5769 . . . 4
722, 12, 9, 3phpar 21327 . . . . 5
734, 22, 29, 72mp3an 1282 . . . 4
741, 25, 32adddii 8780 . . . 4
7571, 73, 743eqtri 2280 . . 3
7660, 75oveq12i 5769 . 2
772, 12nvgcl 21101 . . . . . . . 8
785, 6, 29, 77mp3an 1282 . . . . . . 7
792, 12nvgcl 21101 . . . . . . 7
805, 78, 11, 79mp3an 1282 . . . . . 6
812, 3, 5, 80nvcli 21151 . . . . 5
8281recni 8782 . . . 4
8382sqcli 11115 . . 3
842, 12nvgcl 21101 . . . . . . . 8
855, 6, 50, 84mp3an 1282 . . . . . . 7
862, 12nvgcl 21101 . . . . . . 7
875, 85, 11, 86mp3an 1282 . . . . . 6
882, 3, 5, 87nvcli 21151 . . . . 5
8988recni 8782 . . . 4
9089sqcli 11115 . . 3
912, 12nvgcl 21101 . . . . . . 7
925, 78, 20, 91mp3an 1282 . . . . . 6
932, 3, 5, 92nvcli 21151 . . . . 5
9493recni 8782 . . . 4
9594sqcli 11115 . . 3
962, 12nvgcl 21101 . . . . . . 7
975, 85, 20, 96mp3an 1282 . . . . . 6
982, 3, 5, 97nvcli 21151 . . . . 5
9998recni 8782 . . . 4
10099sqcli 11115 . . 3
10183, 90, 95, 100addsub4i 9075 . 2
10236, 76, 1013eqtr2ri 2283 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  cfv 4638  (class class class)co 5757  c1st 6019  cc 8668  c1 8671   caddc 8673   cmul 8675   cmin 8970  cneg 8971  c2 9728  cexp 11035  cablo 20873  cvc 21026  cnv 21065  cpv 21066  cba 21067  cns 21068  CVcnmcv 21071  cdip 21198  ccphlo 21315 This theorem is referenced by:  ip1ilem  21329 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-seq 10978  df-exp 11036  df-grpo 20783  df-ablo 20874  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-nmcv 21081  df-ph 21316
 Copyright terms: Public domain W3C validator