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Theorem ip0i 22328
Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where  J is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip1i.a  |-  A  e.  X
ip1i.b  |-  B  e.  X
ip1i.c  |-  C  e.  X
ip1i.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ip0i.j  |-  J  e.  CC
Assertion
Ref Expression
ip0i  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem ip0i
StepHypRef Expression
1 2cn 10072 . . . 4  |-  2  e.  CC
2 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ip1i.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 ip1i.9 . . . . . . . 8  |-  U  e.  CPreHil
OLD
54phnvi 22319 . . . . . . 7  |-  U  e.  NrmCVec
6 ip1i.a . . . . . . . 8  |-  A  e.  X
7 ip0i.j . . . . . . . . 9  |-  J  e.  CC
8 ip1i.c . . . . . . . . 9  |-  C  e.  X
9 ip1i.4 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
102, 9nvscl 22109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  J  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( J S C )  e.  X )
115, 7, 8, 10mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( J S C )  e.  X
12 ip1i.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( +v `  U
)
132, 12nvgcl 22101 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )  ->  ( A G ( J S C ) )  e.  X )
145, 6, 11, 13mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( A G ( J S C ) )  e.  X
152, 3, 5, 14nvcli 22151 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A G ( J S C ) ) )  e.  RR
1615recni 9104 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A G ( J S C ) ) )  e.  CC
1716sqcli 11464 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
187negcli 9370 . . . . . . . . 9  |-  -u J  e.  CC
192, 9nvscl 22109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u J  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u J S C )  e.  X )
205, 18, 8, 19mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( -u J S C )  e.  X
212, 12nvgcl 22101 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u J S C ) )  e.  X
)
225, 6, 20, 21mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( A G ( -u J S C ) )  e.  X
232, 3, 5, 22nvcli 22151 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) )  e.  RR
2423recni 9104 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) )  e.  CC
2524sqcli 11464 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
261, 17, 25subdii 9484 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
271, 17mulcli 9097 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  e.  CC
281, 25mulcli 9097 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
29 ip1i.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
302, 3, 5, 29nvcli 22151 . . . . . . 7  |-  ( N `
 B )  e.  RR
3130recni 9104 . . . . . 6  |-  ( N `
 B )  e.  CC
3231sqcli 11464 . . . . 5  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
331, 32mulcli 9097 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  CC
34 pnpcan2 9343 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3527, 28, 33, 34mp3an 1280 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
3626, 35eqtr4i 2461 . 2  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
37 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  U )  =  ( 1st `  U )
3837nvvc 22096 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1st `  U
)  e.  CVec OLD )
3912vafval 22084 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( 1st `  ( 1st `  U ) )
4039vcablo 22038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  U )  e.  CVec OLD  ->  G  e. 
AbelOp )
415, 38, 40mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
AbelOp
426, 29, 113pm3.2i 1133 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )
432, 12bafval 22085 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
4443ablo32 21876 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G B ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G B ) )
4541, 42, 44mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G B )
4645fveq2i 5733 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( J S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G B ) )
4746oveq1i 6093 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )
48 neg1cn 10069 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
492, 9nvscl 22109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
505, 48, 29, 49mp3an 1280 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
516, 50, 113pm3.2i 1133 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )
5243ablo32 21876 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u
1 S B ) ) )
5341, 51, 52mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) )
5453fveq2i 5733 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G ( -u
1 S B ) ) )
5554oveq1i 6093 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )
5647, 55oveq12i 6095 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( N `
 ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
572, 12, 9, 3phpar 22327 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A G ( J S C ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )
584, 14, 29, 57mp3an 1280 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  B
) ^ 2 ) ) )
591, 17, 32adddii 9102 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
6056, 58, 593eqtri 2462 . . 3  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
616, 29, 203pm3.2i 1133 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )
6243ablo32 21876 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) )
6341, 61, 62mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B )
6463fveq2i 5733 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) )  =  ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) )
6564oveq1i 6093 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^
2 )
666, 50, 203pm3.2i 1133 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )
6743ablo32 21876 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
6841, 66, 67mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) )
6968fveq2i 5733 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) )  =  ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
7069oveq1i 6093 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )
7165, 70oveq12i 6095 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
722, 12, 9, 3phpar 22327 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A G ( -u J S C ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A G (
-u J S C ) ) G (
-u 1 S B ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
734, 22, 29, 72mp3an 1280 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
741, 25, 32adddii 9102 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
7571, 73, 743eqtri 2462 . . 3  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
7660, 75oveq12i 6095 . 2  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
772, 12nvgcl 22101 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
785, 6, 29, 77mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( A G B )  e.  X
792, 12nvgcl 22101 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( J S C ) )  e.  X )
805, 78, 11, 79mp3an 1280 . . . . . 6  |-  ( ( A G B ) G ( J S C ) )  e.  X
812, 3, 5, 80nvcli 22151 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( J S C ) ) )  e.  RR
8281recni 9104 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( J S C ) ) )  e.  CC
8382sqcli 11464 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
842, 12nvgcl 22101 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
855, 6, 50, 84mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
862, 12nvgcl 22101 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( J S C ) )  e.  X )
875, 85, 11, 86mp3an 1280 . . . . . 6  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) )  e.  X
882, 3, 5, 87nvcli 22151 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) )  e.  RR
8988recni 9104 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) )  e.  CC
9089sqcli 11464 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
912, 12nvgcl 22101 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( -u J S C ) )  e.  X )
925, 78, 20, 91mp3an 1280 . . . . . 6  |-  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) )  e.  X
932, 3, 5, 92nvcli 22151 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) )  e.  RR
9493recni 9104 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) )  e.  CC
9594sqcli 11464 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
962, 12nvgcl 22101 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u J S C ) )  e.  X
)
975, 85, 20, 96mp3an 1280 . . . . . 6  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) )  e.  X
982, 3, 5, 97nvcli 22151 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) )  e.  RR
9998recni 9104 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) )  e.  CC
10099sqcli 11464 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
10183, 90, 95, 100addsub4i 9398 . 2  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
10236, 76, 1013eqtr2ri 2465 1  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1stc1st 6349   CCcc 8990   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294   2c2 10051   ^cexp 11384   AbelOpcablo 21871   CVec
OLDcvc 22026   NrmCVeccnv 22065   +vcpv 22066   BaseSetcba 22067   .s
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This theorem is referenced by:  ip1ilem  22329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385  df-grpo 21781  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-ph 22316
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