MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0l Unicode version

Theorem ip0l 16372
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
ip0l.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ip0l  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )

Proof of Theorem ip0l
StepHypRef Expression
1 phllmod 16366 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 15469 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3 phllmhm.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 ip0l.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
53, 4grpidcl 14345 . . . . 5  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
61, 2, 53syl 20 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .0.  e.  V
)
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
8 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( x  =  .0.  ->  (
x  .,  A )  =  (  .0.  .,  A
) )
9 eqid 2253 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( x 
.,  A ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )
10 ovex 5735 . . . 4  |-  (  .0.  .,  A )  e.  _V
118, 9, 10fvmpt 5454 . . 3  |-  (  .0. 
e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
127, 11syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
13 phlsrng.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
14 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
1513, 14, 3, 9phllmhm 16368 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) ) )
16 lmghm 15623 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W  GrpHom  (ringLMod `  F
) ) )
17 ip0l.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
18 rlm0 15782 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
1917, 18eqtri 2273 . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
204, 19ghmid 14524 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W 
GrpHom  (ringLMod `  F )
)  ->  ( (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) ) `  .0.  )  =  Z )
2115, 16, 203syl 20 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  Z )
2212, 21eqtr3d 2287 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    e. cmpt 3974   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022  Scalarcsca 13085   .icip 13087   0gc0g 13274   Grpcgrp 14197    GrpHom cghm 14515   LModclmod 15462   LMHom clmhm 15611  ringLModcrglmod 15754   PreHilcphl 16360
This theorem is referenced by:  ip0r  16373  ipeq0  16374  ocvlss  16404  cphip0l  18469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-plusg 13095  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-ghm 14516  df-lmod 15464  df-lmhm 15614  df-lvec 15691  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-phl 16362
  Copyright terms: Public domain W3C validator