MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0l Unicode version

Theorem ip0l 16488
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
ip0l.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ip0l  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )

Proof of Theorem ip0l
StepHypRef Expression
1 phllmod 16482 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 15582 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3 phllmhm.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 ip0l.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
53, 4grpidcl 14458 . . . . 5  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
61, 2, 53syl 20 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .0.  e.  V
)
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
8 oveq1 5785 . . . 4  |-  ( x  =  .0.  ->  (
x  .,  A )  =  (  .0.  .,  A
) )
9 eqid 2256 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( x 
.,  A ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )
10 ovex 5803 . . . 4  |-  (  .0.  .,  A )  e.  _V
118, 9, 10fvmpt 5522 . . 3  |-  (  .0. 
e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
127, 11syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
13 phlsrng.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
14 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
1513, 14, 3, 9phllmhm 16484 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) ) )
16 lmghm 15736 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W  GrpHom  (ringLMod `  F
) ) )
17 ip0l.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
18 rlm0 15898 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
1917, 18eqtri 2276 . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
204, 19ghmid 14637 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W 
GrpHom  (ringLMod `  F )
)  ->  ( (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) ) `  .0.  )  =  Z )
2115, 16, 203syl 20 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  Z )
2212, 21eqtr3d 2290 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    e. cmpt 4037   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Basecbs 13096  Scalarcsca 13159   .icip 13161   0gc0g 13348   Grpcgrp 14310    GrpHom cghm 14628   LModclmod 15575   LMHom clmhm 15724  ringLModcrglmod 15870   PreHilcphl 16476
This theorem is referenced by:  ip0r  16489  ipeq0  16490  ocvlss  16520  cphip0l  18585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-plusg 13169  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-0g 13352  df-mnd 14315  df-grp 14437  df-ghm 14629  df-lmod 15577  df-lmhm 15727  df-lvec 15804  df-sra 15873  df-rgmod 15874  df-phl 16478
  Copyright terms: Public domain W3C validator