MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0l Unicode version

Theorem ip0l 16467
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
ip0l.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ip0l  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )

Proof of Theorem ip0l
StepHypRef Expression
1 phllmod 16461 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 15561 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3 phllmhm.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 ip0l.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
53, 4grpidcl 14437 . . . . 5  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
61, 2, 53syl 20 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .0.  e.  V
)
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
8 oveq1 5764 . . . 4  |-  ( x  =  .0.  ->  (
x  .,  A )  =  (  .0.  .,  A
) )
9 eqid 2256 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( x 
.,  A ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )
10 ovex 5782 . . . 4  |-  (  .0.  .,  A )  e.  _V
118, 9, 10fvmpt 5501 . . 3  |-  (  .0. 
e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
127, 11syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
13 phlsrng.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
14 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
1513, 14, 3, 9phllmhm 16463 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) ) )
16 lmghm 15715 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W  GrpHom  (ringLMod `  F
) ) )
17 ip0l.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
18 rlm0 15877 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
1917, 18eqtri 2276 . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
204, 19ghmid 14616 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W 
GrpHom  (ringLMod `  F )
)  ->  ( (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) ) `  .0.  )  =  Z )
2115, 16, 203syl 20 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  Z )
2212, 21eqtr3d 2290 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    e. cmpt 4017   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075  Scalarcsca 13138   .icip 13140   0gc0g 13327   Grpcgrp 14289    GrpHom cghm 14607   LModclmod 15554   LMHom clmhm 15703  ringLModcrglmod 15849   PreHilcphl 16455
This theorem is referenced by:  ip0r  16468  ipeq0  16469  ocvlss  16499  cphip0l  18564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-plusg 13148  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-0g 13331  df-mnd 14294  df-grp 14416  df-ghm 14608  df-lmod 15556  df-lmhm 15706  df-lvec 15783  df-sra 15852  df-rgmod 15853  df-phl 16457
  Copyright terms: Public domain W3C validator