MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0l Unicode version

Theorem ip0l 16534
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
ip0l.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ip0l  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem ip0l
StepHypRef Expression
1 phllmod 16528 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 15628 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3 phllmhm.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 ip0l.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
53, 4grpidcl 14504 . . . . 5  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
61, 2, 53syl 20 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .0.  e.  V
)
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
8 oveq1 5826 . . . 4  |-  ( x  =  .0.  ->  (
x  .,  A )  =  (  .0.  .,  A
) )
9 eqid 2284 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( x 
.,  A ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )
10 ovex 5844 . . . 4  |-  (  .0.  .,  A )  e.  _V
118, 9, 10fvmpt 5563 . . 3  |-  (  .0. 
e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
127, 11syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  (  .0.  .,  A ) )
13 phlsrng.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
14 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
1513, 14, 3, 9phllmhm 16530 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) ) )
16 lmghm 15782 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W  GrpHom  (ringLMod `  F
) ) )
17 ip0l.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
18 rlm0 15944 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
1917, 18eqtri 2304 . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  (ringLMod `  F ) )
204, 19ghmid 14683 . . 3  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) )  e.  ( W 
GrpHom  (ringLMod `  F )
)  ->  ( (
x  e.  V  |->  ( x  .,  A ) ) `  .0.  )  =  Z )
2115, 16, 203syl 20 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( x  .,  A
) ) `  .0.  )  =  Z )
2212, 21eqtr3d 2318 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Basecbs 13142  Scalarcsca 13205   .icip 13207   0gc0g 13394   Grpcgrp 14356    GrpHom cghm 14674   LModclmod 15621   LMHom clmhm 15770  ringLModcrglmod 15916   PreHilcphl 16522
This theorem is referenced by:  ip0r  16535  ipeq0  16536  ocvlss  16566  cphip0l  18631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-plusg 13215  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-0g 13398  df-mnd 14361  df-grp 14483  df-ghm 14675  df-lmod 15623  df-lmhm 15773  df-lvec 15850  df-sra 15919  df-rgmod 15920  df-phl 16524
  Copyright terms: Public domain W3C validator