Theorem ip1cnilem2 8370

Description: Lemma for ip1cni 8375.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1cni.1	|- X = (Base` U)
ip1cni.2	|- G = (+v` U)
ip1cni.7	|- P = (.i` U)
ip1cni.8	|- C = (IndMet` U)
ip1cni.d	|- D = (abs o. - )
ip1cni.j	|- J = (Open` C)
ip1cni.k	|- K = (Open` D)
ip1cni.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
ip1cni.9	|- U e. NrmCVec
ip1cni.a	|- A e. X
ip1cnilem.4	|- S = (.s` U)
ip1cnilem.6	|- N = (norm` U)
ip1cnilem.13	|- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}

Assertion

Ref	Expression
ip1cnilem2	|- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Distinct variable groups:   t,k,u,v,w,A   u,C,w   u,D,w   k,G,t,u,v,w   v,H,w   k,J,u,w   k,K,u,w   k,N,t,u,v,w   S,k,t,u,v,w   U,k,t,u,v,w   k,X,t,u,v,w

Proof of Theorem ip1cnilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1cni.9	. . . . . . . 8 |- U e. NrmCVec
2		ip1cni.1	. . . . . . . . 9 |- X = (Base` U)
3		ip1cni.2	. . . . . . . . 9 |- G = (+v` U)
4	2, 3	nvgcl 8235	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
5	1, 4	mp3an1 905	. . . . . . 7 |- ((u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
6		nnnn0t 6108	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> k e. NN0)
7		axicn 5282	. . . . . . . . 9 |- i e. CC
8		expclt 6582	. . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ k e. NN0) -> (i^k) e. CC)
9	7, 8	mpan 697	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (i^k) e. CC)
10		ip1cni.a	. . . . . . . . 9 |- A e. X
11		ip1cnilem.4	. . . . . . . . . 10 |- S = (.s` U)
12	2, 11	nvscl 8243	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (i^k) e. CC /\ A e. X) -> ((i^k)SA) e. X)
13	1, 10, 12	mp3an13 909	. . . . . . . 8 |- ((i^k) e. CC -> ((i^k)SA) e. X)
14	6, 9, 13	3syl 20	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((i^k)SA) e. X)
15	5, 14	sylan2 453	. . . . . 6 |- ((u e. X /\ k e. NN) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
16	15	ancoms 438	. . . . 5 |- ((k e. NN /\ u e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
17	16	r19.21aiva 1717	. . . 4 |- (k e. NN -> A.u e. X (uG((i^k)SA)) e. X)
18		eqid 1478	. . . . 5 |- {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}
19		oprex 3989	. . . . 5 |- (uG((i^k)SA)) e. V
20	18, 19	rnssopab 3831	. . . 4 |- (A.u e. X (uG((i^k)SA)) e. X <-> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} (_ X)
21	17, 20	sylib 198	. . 3 |- (k e. NN -> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} (_ X)
22		fvex 3738	. . . 4 |- (N` a) e. V
23		fvex 3738	. . . 4 |- (N` (uG((i^k)SA))) e. V
24		fveq2 3730	. . . 4 |- (a = (uG((i^k)SA)) -> (N` a) = (N` (uG((i^k)SA))))
25		ip1cnilem.6	. . . . . . . 8 |- N = (norm` U)
26	2, 25	nvf 8282	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)
27	1, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 |- N:X-->RR
28		ffn 3633	. . . . . 6 |- (N:X-->RR -> N Fn X)
29	27, 28	ax-mp 7	. . . . 5 |- N Fn X
30		fnopabfv 3764	. . . . 5 |- (N Fn X <-> N = {<.a, b>. | (a e. X /\ b = (N` a))})
31	29, 30	mpbi 189	. . . 4 |- N = {<.a, b>. | (a e. X /\ b = (N` a))}
32		ip1cnilem.13	. . . 4 |- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}
33	19, 22, 23, 24, 18, 31, 32	fopabco 3838	. . 3 |- (ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} (_ X -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) = H)
34	21, 33	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) = H)
35		ip1cni.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
36		ip1cni.8	. . . 4 |- C = (IndMet` U)
37		ip1cni.d	. . . 4 |- D = (abs o. - )
38		ip1cni.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
39		ip1cni.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
40		ip1cni.f	. . . 4 |- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
41	2, 3, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 1, 10, 11, 25, 18	ip1cnilem1 8369	. . 3 |- (k e. NN -> {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J))
42	25, 36, 37, 38, 39	nmcnc 8338	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> N e. (J Cn K))
43	1, 42	ax-mp 7	. . . 4 |- N e. (J Cn K)
44	36	imsmet 8320	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> C e. Met)
45	1, 44	ax-mp 7	. . . . . 6 |- C e. Met
46	37	cnmet 7901	. . . . . 6 |- D e. Met
47	45, 45, 46	3pm3.2i 820	. . . . 5 |- (C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met)
48	38, 38, 39	metcnco 7894	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J) /\ N e. (J Cn K))) -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
49	47, 48	mpan 697	. . . 4 |- (({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J) /\ N e. (J Cn K)) -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
50	43, 49	mpan2 698	. . 3 |- ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J) -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
51	41, 50	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
52	34, 51	eqeltrrd 1552	1 |- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050  {copab 2671  ran crn 3177   o. ccom 3180   Fn wfn 3183  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  ici 5248   - cmin 5304  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ^cexp 6569  abscabs 6751   Cn ccn 7749  Metcme 7786  Opencopn 7789  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  normcnm 8205  IndMetcims 8206  .icip 8345

This theorem is referenced by:  ip1cnilem3 8371

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216

Copyright terms: Public domain