MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip1i Unicode version

Theorem ip1i 21330
Description: Equation 6.47 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip1i.a  |-  A  e.  X
ip1i.b  |-  B  e.  X
ip1i.c  |-  C  e.  X
Assertion
Ref Expression
ip1i  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )

Proof of Theorem ip1i
StepHypRef Expression
1 ip1i.1 . 2  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 ip1i.2 . 2  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 ip1i.4 . 2  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 ip1i.7 . 2  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
5 ip1i.9 . 2  |-  U  e.  CPreHil
OLD
6 ip1i.a . 2  |-  A  e.  X
7 ip1i.b . 2  |-  B  e.  X
8 ip1i.c . 2  |-  C  e.  X
9 eqid 2256 . 2  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
10 ax-1cn 8728 . 2  |-  1  e.  CC
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ip1ilem 21329 1  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675   -ucneg 8971   2c2 9728   +vcpv 21066   BaseSetcba 21067   .s
OLDcns 21068   normCVcnmcv 21071   .i OLDcdip 21198   CPreHil OLDccphlo 21315
This theorem is referenced by:  ip2i  21331  ipdirilem  21332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-sum 12089  df-grpo 20783  df-ablo 20874  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-nmcv 21081  df-dip 21199  df-ph 21316
  Copyright terms: Public domain W3C validator