Theorem ip2eqi 8513

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal.

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	|- X = (Base` U)
ip2eqi.7	|- P = (.i` U)
ip2eqi.u	|- U e. CPreHil

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	|- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,P   x,U   x,X

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 8471	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
4		eqid 1478	. . . . . 6 |- (-v` U) = (-v` U)
5	3, 4	nvmcl 8263	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
6	2, 5	mp3an1 905	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
7		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPA) = ((A(-v` U)B)PA))
8		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPB) = ((A(-v` U)B)PB))
9	7, 8	eqeq12d 1492	. . . . 5 |- (x = (A(-v` U)B) -> ((xPA) = (xPB) <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
10	9	rcla4v 1876	. . . 4 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
11	6, 10	syl 10	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
12		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 |- P = (.i` U)
13	3, 4, 12	ipsubdi 8505	. . . . . . . 8 |- ((U e. CPreHil /\ ((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X)) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
14	1, 13	mpan 697	. . . . . . 7 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
15		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
16		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
17	14, 6, 15, 16	syl3anc 860	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
18	17	eqeq1d 1486	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0))
19		eqid 1478	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
20	3, 19, 12	ipz 8368	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
21	2, 20	mpan 697	. . . . . 6 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
22	6, 21	syl 10	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
23	18, 22	bitr3d 532	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
24		subeq0t 5415	. . . . 5 |- ((((A(-v` U)B)PA) e. CC /\ ((A(-v` U)B)PB) e. CC) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
25	3, 12	ipcl 8361	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
26	2, 25	mp3an1 905	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
27	26, 6, 15	sylanc 473	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
28	3, 12	ipcl 8361	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
29	2, 28	mp3an1 905	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
30	6, 29	sylancom 477	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
31	24, 27, 30	sylanc 473	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
32	3, 4, 19	nvmeq0 8280	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
33	2, 32	mp3an1 905	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
34	23, 31, 33	3bitr3d 550	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB) <-> A = B))
35	11, 34	sylibd 202	. 2 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> A = B))
36		opreq2 3975	. . . 4 |- (A = B -> (xPA) = (xPB))
37	36	a1d 12	. . 3 |- (A = B -> (x e. X -> (xPA) = (xPB)))
38	37	r19.21aiv 1716	. 2 |- (A = B -> A.x e. X (xPA) = (xPB))
39	35, 38	impbid1 519	1 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   - cmin 5304  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  0vcn0v 8203  -vcnsb 8204  .icip 8345  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  phoeqi 8514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468

Copyright terms: Public domain