Theorem ip2i 8431

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ip2i.8	|- A e. X
ip2i.9	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ip2i	|- ((2SA)PB) = (2 x. (APB))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 5925	. . . . . 6 |- 2 = (1 + 1)
2	1	opreq1i 3962	. . . . 5 |- (2SA) = ((1 + 1)SA)
3		ip1i.9	. . . . . . 7 |- U e. CPreHil
4	3	phnvi 8419	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
5		ax1cn 5249	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
6		ip2i.8	. . . . . . 7 |- A e. X
7	5, 5, 6	3pm3.2i 817	. . . . . 6 |- (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)
8		ip1i.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
9		ip1i.2	. . . . . . 7 |- G = (+v` U)
10		ip1i.4	. . . . . . 7 |- S = (.s` U)
11	8, 9, 10	nvdir 8204	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
12	4, 7, 11	mp2an 696	. . . . 5 |- ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA))
13	8, 10	nvsid 8200	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
14	4, 6, 13	mp2an 696	. . . . . 6 |- (1SA) = A
15	14, 14	opreq12i 3964	. . . . 5 |- ((1SA)G(1SA)) = (AGA)
16	2, 12, 15	3eqtr 1496	. . . 4 |- (2SA) = (AGA)
17	16	opreq1i 3962	. . 3 |- ((2SA)PB) = ((AGA)PB)
18	8, 9	nvgcl 8191	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A e. X) -> (AGA) e. X)
19	4, 6, 6, 18	mp3an 914	. . . . 5 |- (AGA) e. X
20		ip2i.9	. . . . 5 |- B e. X
21		ip1i.7	. . . . . 6 |- P = (.i` U)
22	8, 21	ipcl 8312	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (AGA) e. X /\ B e. X) -> ((AGA)PB) e. CC)
23	4, 19, 20, 22	mp3an 914	. . . 4 |- ((AGA)PB) e. CC
24	23	addid1 5310	. . 3 |- (((AGA)PB) + 0) = ((AGA)PB)
25	17, 24	eqtr4 1495	. 2 |- ((2SA)PB) = (((AGA)PB) + 0)
26		eqid 1473	. . . . . . 7 |- (0v` U) = (0v` U)
27	8, 9, 10, 26	nvrinv 8225	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (AG(-u1SA)) = (0v` U))
28	4, 6, 27	mp2an 696	. . . . 5 |- (AG(-u1SA)) = (0v` U)
29	28	opreq1i 3962	. . . 4 |- ((AG(-u1SA))PB) = ((0v` U)PB)
30	8, 26, 21	ip0l 8318	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((0v` U)PB) = 0)
31	4, 20, 30	mp2an 696	. . . 4 |- ((0v` U)PB) = 0
32	29, 31	eqtr 1492	. . 3 |- ((AG(-u1SA))PB) = 0
33	32	opreq2i 3963	. 2 |- (((AGA)PB) + ((AG(-u1SA))PB)) = (((AGA)PB) + 0)
34	8, 9, 10, 21, 3, 6, 6, 20	ip1i 8430	. 2 |- (((AGA)PB) + ((AG(-u1SA))PB)) = (2 x. (APB))
35	25, 33, 34	3eqtr2 1498	1 |- ((2SA)PB) = (2 x. (APB))

Syntax hints:   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219  -ucneg 5273  2c2 5916  NrmCVeccnv 8155  +vcpv 8156  Basecba 8157  .scns 8158  0vcn0v 8159  .icip 8296  CPreHilcphl 8415

This theorem is referenced by:  ipdirilem 8432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-sum 6926  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171  df-ip 8297  df-ph 8416

Copyright terms: Public domain