MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2i Unicode version

Theorem ip2i 21408
Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip2i.8  |-  A  e.  X
ip2i.9  |-  B  e.  X
Assertion
Ref Expression
ip2i  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( 2  x.  ( A P B ) )

Proof of Theorem ip2i
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . 6  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 21396 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip2i.8 . . . . . 6  |-  A  e.  X
4 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
64, 5nvgcl 21178 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A G A )  e.  X )
72, 3, 3, 6mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( A G A )  e.  X
8 ip2i.9 . . . . 5  |-  B  e.  X
9 ip1i.7 . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
104, 9dipcl 21290 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G A ) P B )  e.  CC )
112, 7, 8, 10mp3an 1277 . . . 4  |-  ( ( A G A ) P B )  e.  CC
1211addid1i 9001 . . 3  |-  ( ( ( A G A ) P B )  +  0 )  =  ( ( A G A ) P B )
13 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
14 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
154, 5, 13, 14nvrinv 21213 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
) )
162, 3, 15mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
)
1716oveq1i 5870 . . . . 5  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) P B )  =  ( ( 0vec `  U ) P B )
184, 14, 9dip0l 21296 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( 0vec `  U ) P B )  =  0 )
192, 8, 18mp2an 653 . . . . 5  |-  ( (
0vec `  U ) P B )  =  0
2017, 19eqtri 2305 . . . 4  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) P B )  =  0
2120oveq2i 5871 . . 3  |-  ( ( ( A G A ) P B )  +  ( ( A G ( -u 1 S A ) ) P B ) )  =  ( ( ( A G A ) P B )  +  0 )
22 df-2 9806 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2322oveq1i 5870 . . . . 5  |-  ( 2 S A )  =  ( ( 1  +  1 ) S A )
24 ax-1cn 8797 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
2524, 24, 33pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  X )
264, 5, 13nvdir 21191 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( 1  +  1 ) S A )  =  ( ( 1 S A ) G ( 1 S A ) ) )
272, 25, 26mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 ) S A )  =  ( ( 1 S A ) G ( 1 S A ) )
284, 13nvsid 21187 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
292, 3, 28mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1 S A )  =  A
3029, 29oveq12i 5872 . . . . . 6  |-  ( ( 1 S A ) G ( 1 S A ) )  =  ( A G A )
3127, 30eqtri 2305 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 ) S A )  =  ( A G A )
3223, 31eqtri 2305 . . . 4  |-  ( 2 S A )  =  ( A G A )
3332oveq1i 5870 . . 3  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( ( A G A ) P B )
3412, 21, 333eqtr4ri 2316 . 2  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( ( ( A G A ) P B )  +  ( ( A G (
-u 1 S A ) ) P B ) )
354, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8ip1i 21407 . 2  |-  ( ( ( A G A ) P B )  +  ( ( A G ( -u 1 S A ) ) P B ) )  =  ( 2  x.  ( A P B ) )
3634, 35eqtri 2305 1  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( 2  x.  ( A P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744   -ucneg 9040   2c2 9797   NrmCVeccnv 21142   +vcpv 21143   BaseSetcba 21144   .s
OLDcns 21145   0veccn0v 21146   .i
OLDcdip 21275   CPreHil OLDccphlo 21392
This theorem is referenced by:  ipdirilem  21409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-sum 12161  df-grpo 20860  df-gid 20861  df-ginv 20862  df-ablo 20951  df-vc 21104  df-nv 21150  df-va 21153  df-ba 21154  df-sm 21155  df-0v 21156  df-nmcv 21158  df-dip 21276  df-ph 21393
  Copyright terms: Public domain W3C validator