MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2i Unicode version

Theorem ip2i 21400
Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip2i.8  |-  A  e.  X
ip2i.9  |-  B  e.  X
Assertion
Ref Expression
ip2i  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( 2  x.  ( A P B ) )

Proof of Theorem ip2i
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . 6  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 21388 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip2i.8 . . . . . 6  |-  A  e.  X
4 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
64, 5nvgcl 21170 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A G A )  e.  X )
72, 3, 3, 6mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( A G A )  e.  X
8 ip2i.9 . . . . 5  |-  B  e.  X
9 ip1i.7 . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
104, 9dipcl 21282 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G A ) P B )  e.  CC )
112, 7, 8, 10mp3an 1277 . . . 4  |-  ( ( A G A ) P B )  e.  CC
1211addid1i 8995 . . 3  |-  ( ( ( A G A ) P B )  +  0 )  =  ( ( A G A ) P B )
13 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
14 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
154, 5, 13, 14nvrinv 21205 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
) )
162, 3, 15mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
)
1716oveq1i 5830 . . . . 5  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) P B )  =  ( ( 0vec `  U ) P B )
184, 14, 9dip0l 21288 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( 0vec `  U ) P B )  =  0 )
192, 8, 18mp2an 653 . . . . 5  |-  ( (
0vec `  U ) P B )  =  0
2017, 19eqtri 2304 . . . 4  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) P B )  =  0
2120oveq2i 5831 . . 3  |-  ( ( ( A G A ) P B )  +  ( ( A G ( -u 1 S A ) ) P B ) )  =  ( ( ( A G A ) P B )  +  0 )
22 df-2 9800 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2322oveq1i 5830 . . . . 5  |-  ( 2 S A )  =  ( ( 1  +  1 ) S A )
24 ax-1cn 8791 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
2524, 24, 33pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  X )
264, 5, 13nvdir 21183 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( 1  +  1 ) S A )  =  ( ( 1 S A ) G ( 1 S A ) ) )
272, 25, 26mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 ) S A )  =  ( ( 1 S A ) G ( 1 S A ) )
284, 13nvsid 21179 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
292, 3, 28mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1 S A )  =  A
3029, 29oveq12i 5832 . . . . . 6  |-  ( ( 1 S A ) G ( 1 S A ) )  =  ( A G A )
3127, 30eqtri 2304 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 ) S A )  =  ( A G A )
3223, 31eqtri 2304 . . . 4  |-  ( 2 S A )  =  ( A G A )
3332oveq1i 5830 . . 3  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( ( A G A ) P B )
3412, 21, 333eqtr4ri 2315 . 2  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( ( ( A G A ) P B )  +  ( ( A G (
-u 1 S A ) ) P B ) )
354, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8ip1i 21399 . 2  |-  ( ( ( A G A ) P B )  +  ( ( A G ( -u 1 S A ) ) P B ) )  =  ( 2  x.  ( A P B ) )
3634, 35eqtri 2304 1  |-  ( ( 2 S A ) P B )  =  ( 2  x.  ( A P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738   -ucneg 9034   2c2 9791   NrmCVeccnv 21134   +vcpv 21135   BaseSetcba 21136   .s
OLDcns 21137   0veccn0v 21138   .i
OLDcdip 21267   CPreHil OLDccphlo 21384
This theorem is referenced by:  ipdirilem  21401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-sum 12155  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-ablo 20943  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-nmcv 21150  df-dip 21268  df-ph 21385
  Copyright terms: Public domain W3C validator