MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassi Unicode version

Theorem ipassi 21413
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ipassi  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem ipassi
StepHypRef Expression
1 oveq2 5828 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A S B )  =  ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
21oveq1d 5835 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A S B ) P C )  =  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) ) P C ) )
3 oveq1 5827 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( B P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
43oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A  x.  ( B P C ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) )
52, 4eqeq12d 2298 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) )  <->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) )
65imbi2d 307 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) ) )
7 oveq2 5828 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P C )  =  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
8 oveq2 5828 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
98oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) ) ) )
107, 9eqeq12d 2298 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  <->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) ) ) ) )
1110imbi2d 307 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) ) )
12 ip1i.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
13 ip1i.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
14 ip1i.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
15 ip1i.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
16 ip1i.9 . . . . 5  |-  U  e.  CPreHil
OLD
17 eqid 2284 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
1812, 17, 16elimph 21392 . . . . 5  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
1912, 17, 16elimph 21392 . . . . 5  |-  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2012, 13, 14, 15, 16, 18, 19ipasslem11 21412 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) ) ) )
216, 11, 20dedth2h 3608 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  CC  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) ) )
2221com12 27 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) ) )
23223impib 1149 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   ifcif 3566   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731    x. cmul 8738   +vcpv 21135   BaseSetcba 21136   .s
OLDcns 21137   0veccn0v 21138   .i
OLDcdip 21267   CPreHil OLDccphlo 21384
This theorem is referenced by:  dipass  21417  ipblnfi  21428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-t1 17038  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-dip 21268  df-ph 21385
  Copyright terms: Public domain W3C validator