Theorem ipasslem4 8452

Description: Lemma for ipassi 8460. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem1.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	|- ((N e. NN /\ A e. X) -> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidt 5708	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ N =/= 0) -> (N x. (1 / N)) = 1)
2		nncnt 5888	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> N e. CC)
3		nnne0t 5907	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> N =/= 0)
4	1, 2, 3	sylanc 471	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (N x. (1 / N)) = 1)
5	4	opreq1d 3970	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (1 x. (APB)))
6		ip1i.9	. . . . . . . 8 |- U e. CPreHil
7	6	phnvi 8434	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
8		ipasslem1.b	. . . . . . 7 |- B e. X
9		ip1i.1	. . . . . . . 8 |- X = (Base` U)
10		ip1i.7	. . . . . . . 8 |- P = (.i` U)
11	9, 10	ipcl 8327	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
12	7, 8, 11	mp3an13 906	. . . . . 6 |- (A e. X -> (APB) e. CC)
13		mulid2t 5400	. . . . . 6 |- ((APB) e. CC -> (1 x. (APB)) = (APB))
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 |- (A e. X -> (1 x. (APB)) = (APB))
15	5, 14	sylan9eq 1525	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (APB))
16	4	opreq1d 3970	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> ((N x. (1 / N))SA) = (1SA))
17		ip1i.4	. . . . . . . . 9 |- S = (.s` U)
18	9, 17	nvsid 8212	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
19	7, 18	mpan 694	. . . . . . 7 |- (A e. X -> (1SA) = A)
20	16, 19	sylan9eq 1525	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N))SA) = A)
21	9, 17	nvsass 8213	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (N e. CC /\ (1 / N) e. CC /\ A e. X)) -> ((N x. (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
22	7, 21	mpan 694	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ (1 / N) e. CC /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
23	2	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> N e. CC)
24		nnrecret 6227	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (1 / N) e. RR)
25	24	recnd 5298	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (1 / N) e. CC)
26	25	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (1 / N) e. CC)
27		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> A e. X)
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 857	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
29	20, 28	eqtr3d 1507	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> A = (NS((1 / N)SA)))
30	29	opreq1d 3970	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (APB) = ((NS((1 / N)SA))PB))
31	15, 30	eqtr2d 1506	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((NS((1 / N)SA))PB) = ((N x. (1 / N)) x. (APB)))
32		ip1i.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
33	9, 32, 17, 10, 6, 8	ipasslem1 8449	. . . 4 |- ((N e. NN0 /\ ((1 / N)SA) e. X) -> ((NS((1 / N)SA))PB) = (N x. (((1 / N)SA)PB)))
34		nnnn0t 6063	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
35	34	adantr 389	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> N e. NN0)
36	9, 17	nvscl 8211	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 / N) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / N)SA) e. X)
37	7, 36	mp3an1 902	. . . . 5 |- (((1 / N) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / N)SA) e. X)
38	37, 25	sylan 448	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((1 / N)SA) e. X)
39	33, 35, 38	sylanc 471	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((NS((1 / N)SA))PB) = (N x. (((1 / N)SA)PB)))
40		axmulass 5261	. . . 4 |- ((N e. CC /\ (1 / N) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))))
41	12	adantl 388	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (APB) e. CC)
42	40, 23, 26, 41	syl3anc 857	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))))
43	31, 39, 42	3eqtr3d 1513	. 2 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (N x. (((1 / N)SA)PB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))))
44		mulcant 5671	. . 3 |- (((N e. CC /\ (((1 / N)SA)PB) e. CC /\ ((1 / N) x. (APB)) e. CC) /\ N =/= 0) -> ((N x. (((1 / N)SA)PB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))) <-> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB))))
45	9, 10	ipcl 8327	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ ((1 / N)SA) e. X /\ B e. X) -> (((1 / N)SA)PB) e. CC)
46	7, 8, 45	mp3an13 906	. . . . 5 |- (((1 / N)SA) e. X -> (((1 / N)SA)PB) e. CC)
47	38, 46	syl 10	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (((1 / N)SA)PB) e. CC)
48		axmulcl 5256	. . . . 5 |- (((1 / N) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((1 / N) x. (APB)) e. CC)
49	48, 25, 12	syl2an 454	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((1 / N) x. (APB)) e. CC)
50	23, 47, 49	3jca 818	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (N e. CC /\ (((1 / N)SA)PB) e. CC /\ ((1 / N) x. (APB)) e. CC))
51	3	adantr 389	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> N =/= 0)
52	44, 50, 51	sylanc 471	. 2 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (((1 / N)SA)PB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))) <-> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB))))
53	43, 52	mpbid 195	1 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  0cc0 5217  1c1 5218   x. cmul 5222   / cdiv 5277  NNcn 5279  NN0cn0 5280  NrmCVeccnv 8167  +vcpv 8168  Basecba 8169  .scns 8170  .icip 8311  CPreHilcphl 8430

This theorem is referenced by:  ipasslem5 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-q 6206  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-sum 6933  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183  df-ip 8312  df-ph 8431

Copyright terms: Public domain