Theorem ipasslem5 8478

Description: Lemma for ipassi 8485. Show the inner product associative law for rational numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem1.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem5	|- ((C e. QQ /\ A e. X) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Proof of Theorem ipasslem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 6212	. . 3 |- (C e. QQ <-> E.j e. ZZ E.k e. NN C = (j / k))
2		opreq1 3965	. . . . . . . . 9 |- (C = (j / k) -> (CSA) = ((j / k)SA))
3	2	opreq1d 3972	. . . . . . . 8 |- (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (((j / k)SA)PB))
4		opreq1 3965	. . . . . . . 8 |- (C = (j / k) -> (C x. (APB)) = ((j / k) x. (APB)))
5	3, 4	eqeq12d 1488	. . . . . . 7 |- (C = (j / k) -> (((CSA)PB) = (C x. (APB)) <-> (((j / k)SA)PB) = ((j / k) x. (APB))))
6		axmulass 5265	. . . . . . . . 9 |- ((j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((j x. (1 / k)) x. (APB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
7		zcnt 6101	. . . . . . . . 9 |- (j e. ZZ -> j e. CC)
8		nnrecret 6232	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
9	8	recnd 5302	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (1 / k) e. CC)
10		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CPreHil
11	10	phnvi 8459	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
12		ipasslem1.b	. . . . . . . . . 10 |- B e. X
13		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = (Base` U)
14		ip1i.7	. . . . . . . . . . 11 |- P = (.i` U)
15	13, 14	ipcl 8351	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
16	11, 12, 15	mp3an13 906	. . . . . . . . 9 |- (A e. X -> (APB) e. CC)
17	6, 7, 9, 16	syl3an 867	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k)) x. (APB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
18		divrect 5716	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. CC /\ k e. CC /\ k =/= 0) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
19	7	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> j e. CC)
20		nncnt 5892	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> k e. CC)
21	20	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> k e. CC)
22		nnne0t 5911	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> k =/= 0)
23	22	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> k =/= 0)
24	18, 19, 21, 23	syl3anc 857	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
25	24	3adant3 798	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
26	25	opreq1d 3972	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k) x. (APB)) = ((j x. (1 / k)) x. (APB)))
27	25	opreq1d 3972	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k)SA) = ((j x. (1 / k))SA))
28		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = (.s` U)
29	13, 28	nvsass 8234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X)) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
30	11, 29	mpan 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ((j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
31		id 59	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. X -> A e. X)
32	30, 7, 9, 31	syl3an 867	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
33	27, 32	eqtrd 1506	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k)SA) = (jS((1 / k)SA)))
34	33	opreq1d 3972	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = ((jS((1 / k)SA))PB))
35		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (+v` U)
36	13, 35, 28, 14, 10, 12	ipasslem3 8476	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ ((1 / k)SA) e. X) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
37	13, 28	nvscl 8232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
38	11, 37	mp3an1 902	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
39	38, 9	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
40	36, 39	sylan2 451	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ (k e. NN /\ A e. X)) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
41	40	3impb 828	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
42	13, 35, 28, 14, 10, 12	ipasslem4 8477	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN /\ A e. X) -> (((1 / k)SA)PB) = ((1 / k) x. (APB)))
43	42	3adant1 796	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((1 / k)SA)PB) = ((1 / k) x. (APB)))
44	43	opreq2d 3973	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (j x. (((1 / k)SA)PB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
45	34, 41, 44	3eqtrd 1510	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
46	17, 26, 45	3eqtr4rd 1517	. . . . . . 7 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = ((j / k) x. (APB)))
47	5, 46	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
48	47	3expia 834	. . . . 5 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (A e. X -> (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))))
49	48	com23 32	. . . 4 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (C = (j / k) -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))))
50	49	r19.23aivv 1747	. . 3 |- (E.j e. ZZ E.k e. NN C = (j / k) -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
51	1, 50	sylbi 199	. 2 |- (C e. QQ -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
52	51	imp 350	1 |- ((C e. QQ /\ A e. X) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1584  E.wrex 1645  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  0cc0 5221  1c1 5222   x. cmul 5226   / cdiv 5281  NNcn 5283  ZZcz 5285  QQcq 5286  NrmCVeccnv 8188  +vcpv 8189  Basecba 8190  .scns 8191  .icip 8335  CPreHilcphl 8455

This theorem is referenced by:  ipasslem8 8481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-q 6211  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-sum 6948  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-nm 8204  df-ip 8336  df-ph 8456

Copyright terms: Public domain