Theorem ipasslem8 8493

Description: Lemma for ipassi 8497. By ipasslem5 8490, F is 0 for all QQ; since it is continuous and QQ is dense in RR by qdensere2 7913, we conclude F is 0 for all RR.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem8.a	|- A e. X
ipasslem8.b	|- B e. X
ipasslem8.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}

Assertion

Ref	Expression
ipasslem8	|- F:RR-->{0}

Distinct variable groups:   w,v,A   v,B,w   v,P,w   v,S,w

Proof of Theorem ipasslem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . 4 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
2	1	remet 7907	. . 3 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met
3		eqid 1478	. . . 4 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
4	3	cnmet 7901	. . 3 |- (abs o. - ) e. Met
5		ip1i.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
6		ip1i.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
7		ip1i.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
8		ip1i.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
9		ip1i.9	. . . 4 |- U e. CPreHil
10		ipasslem8.a	. . . 4 |- A e. X
11		ipasslem8.b	. . . 4 |- B e. X
12		eqid 1478	. . . 4 |- (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
13		eqid 1478	. . . 4 |- (Open` (abs o. - )) = (Open` (abs o. - ))
14		ipasslem8.f	. . . 4 |- F = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 3, 1, 12, 13, 14	ipasslem7 8492	. . 3 |- F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) Cn (Open` (abs o. - )))
16	2, 4, 15	3pm3.2i 820	. 2 |- (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ (abs o. - ) e. Met /\ F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) Cn (Open` (abs o. - ))))
17		0cn 5340	. . 3 |- 0 e. CC
18		qret 6260	. . . . . . 7 |- (x e. QQ -> x e. RR)
19		opreq1 3974	. . . . . . . . . 10 |- (w = x -> (wSA) = (xSA))
20	19	opreq1d 3981	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> ((wSA)PB) = ((xSA)PB))
21		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (w x. (APB)) = (x x. (APB)))
22	20, 21	opreq12d 3984	. . . . . . . 8 |- (w = x -> (((wSA)PB) - (w x. (APB))) = (((xSA)PB) - (x x. (APB))))
23		oprex 3989	. . . . . . . 8 |- (((xSA)PB) - (x x. (APB))) e. V
24	22, 14, 23	fvopab4 3786	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (F` x) = (((xSA)PB) - (x x. (APB))))
25	18, 24	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. QQ -> (F` x) = (((xSA)PB) - (x x. (APB))))
26	5, 6, 7, 8, 9, 11	ipasslem5 8490	. . . . . . . 8 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> ((xSA)PB) = (x x. (APB)))
27		subeq0t 5415	. . . . . . . . 9 |- ((((xSA)PB) e. CC /\ (x x. (APB)) e. CC) -> ((((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0 <-> ((xSA)PB) = (x x. (APB))))
28	9	phnvi 8471	. . . . . . . . . . . 12 |- U e. NrmCVec
29	5, 7	nvscl 8243	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ A e. X) -> (xSA) e. X)
30	28, 29	mp3an1 905	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ A e. X) -> (xSA) e. X)
31		qcnt 6268	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. CC)
32	30, 31	sylan 450	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> (xSA) e. X)
33	5, 8	ipcl 8361	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (xSA) e. X /\ B e. X) -> ((xSA)PB) e. CC)
34	28, 11, 33	mp3an13 909	. . . . . . . . . 10 |- ((xSA) e. X -> ((xSA)PB) e. CC)
35	32, 34	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> ((xSA)PB) e. CC)
36		axmulcl 5285	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ (APB) e. CC) -> (x x. (APB)) e. CC)
37	5, 8	ipcl 8361	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
38	28, 11, 37	mp3an13 909	. . . . . . . . . 10 |- (A e. X -> (APB) e. CC)
39	36, 31, 38	syl2an 456	. . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> (x x. (APB)) e. CC)
40	27, 35, 39	sylanc 473	. . . . . . . 8 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> ((((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0 <-> ((xSA)PB) = (x x. (APB))))
41	26, 40	mpbird 196	. . . . . . 7 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> (((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0)
42	10, 41	mpan2 698	. . . . . 6 |- (x e. QQ -> (((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0)
43	25, 42	eqtrd 1510	. . . . 5 |- (x e. QQ -> (F` x) = 0)
44	43	rgen 1701	. . . 4 |- A.x e. QQ (F` x) = 0
45		oprex 3989	. . . . . . 7 |- (((wSA)PB) - (w x. (APB))) e. V
46	45, 14	fnopab2 3624	. . . . . 6 |- F Fn RR
47		fnfun 3591	. . . . . 6 |- (F Fn RR -> Fun F)
48	46, 47	ax-mp 7	. . . . 5 |- Fun F
49		qssre 6265	. . . . . 6 |- QQ (_ RR
50	45, 14	dmopab2 3625	. . . . . 6 |- dom F = RR
51	49, 50	sseqtr4 2097	. . . . 5 |- QQ (_ dom F
52		funconstss 3814	. . . . 5 |- ((Fun F /\ QQ (_ dom F) -> (A.x e. QQ (F` x) = 0 <-> QQ (_ (`'F"{0})))
53	48, 51, 52	mp2an 699	. . . 4 |- (A.x e. QQ (F` x) = 0 <-> QQ (_ (`'F"{0}))
54	44, 53	mpbi 189	. . 3 |- QQ (_ (`'F"{0})
55	1, 12	qdensere2 7913	. . 3 |- ((cls` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))` QQ) = RR
56	17, 54, 55	3pm3.2i 820	. 2 |- (0 e. CC /\ QQ (_ (`'F"{0}) /\ ((cls` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))` QQ) = RR)
57	1	remetba 7906	. . 3 |- RR = dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
58	3	cnmetba 7900	. . 3 |- CC = dom dom (abs o. - )
59	57, 58, 12, 13	metdnsconst 7898	. 2 |- (((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ (abs o. - ) e. Met /\ F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) Cn (Open` (abs o. - )))) /\ (0 e. CC /\ QQ (_ (`'F"{0}) /\ ((cls` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))` QQ) = RR)) -> F:RR-->{0})
60	16, 56, 59	mp2an 699	1 |- F:RR-->{0}

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050  {csn 2413  {copab 2671   X. cxp 3174  `'ccnv 3175  dom cdm 3176   |` cres 3178  "cima 3179   o. ccom 3180  Fun wfun 3182   Fn wfn 3183  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   x. cmul 5251   - cmin 5304  QQcq 5311  abscabs 6751  clsccl 7659   Cn ccn 7749  Metcme 7786  Opencopn 7789  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  .icip 8345  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  ipasslem9 8494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468

Copyright terms: Public domain