Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Unicode version

Theorem ipblnfi 21450
 Description: A function generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector ) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to . (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1
ipblnfi.7
ipblnfi.9
ipblnfi.c
ipblnfi.l
ipblnfi.f
Assertion
Ref Expression
ipblnfi
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7
21phnvi 21410 . . . . . 6
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7
53, 4dipcl 21304 . . . . . 6
62, 5mp3an1 1264 . . . . 5
76ancoms 439 . . . 4
8 ipblnfi.f . . . 4
97, 8fmptd 5700 . . 3
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
113, 10nvscl 21200 . . . . . . . . . 10
122, 11mp3an1 1264 . . . . . . . . 9
1312ad2ant2lr 728 . . . . . . . 8
14 simprr 733 . . . . . . . 8
15 simpll 730 . . . . . . . 8
16 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
173, 16, 4dipdir 21436 . . . . . . . . 9
181, 17mpan 651 . . . . . . . 8
1913, 14, 15, 18syl3anc 1182 . . . . . . 7
20 simplr 731 . . . . . . . . 9
21 simprl 732 . . . . . . . . 9
223, 16, 10, 4, 1ipassi 21435 . . . . . . . . 9
2320, 21, 15, 22syl3anc 1182 . . . . . . . 8
2423oveq1d 5889 . . . . . . 7
2519, 24eqtrd 2328 . . . . . 6
2612adantll 694 . . . . . . . . 9
273, 16nvgcl 21192 . . . . . . . . . 10
282, 27mp3an1 1264 . . . . . . . . 9
2926, 28sylan 457 . . . . . . . 8
3029anasss 628 . . . . . . 7
31 oveq1 5881 . . . . . . . 8
32 ovex 5899 . . . . . . . 8
3331, 8, 32fvmpt 5618 . . . . . . 7
3430, 33syl 15 . . . . . 6
35 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10
36 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
3735, 8, 36fvmpt 5618 . . . . . . . . 9
3837ad2antrl 708 . . . . . . . 8
3938oveq2d 5890 . . . . . . 7
40 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
41 ovex 5899 . . . . . . . . 9
4240, 8, 41fvmpt 5618 . . . . . . . 8
4342ad2antll 709 . . . . . . 7
4439, 43oveq12d 5892 . . . . . 6
4525, 34, 443eqtr4d 2338 . . . . 5
4645ralrimivva 2648 . . . 4
4746ralrimiva 2639 . . 3
48 ipblnfi.c . . . . 5
4948cnnv 21261 . . . 4
5048cnnvba 21263 . . . . 5
5148cnnvg 21262 . . . . 5
5248cnnvs 21265 . . . . 5
53 eqid 2296 . . . . 5
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 21347 . . . 4
552, 49, 54mp2an 653 . . 3
569, 47, 55sylanbrc 645 . 2
57 eqid 2296 . . . 4 CV CV
583, 57nvcl 21241 . . 3 CV
592, 58mpan 651 . 2 CV
603, 57, 4, 1sii 21448 . . . . 5 CV CV
6160ancoms 439 . . . 4 CV CV
6237adantl 452 . . . . 5
6362fveq2d 5545 . . . 4
6459recnd 8877 . . . . 5 CV
653, 57nvcl 21241 . . . . . . 7 CV
662, 65mpan 651 . . . . . 6 CV
6766recnd 8877 . . . . 5 CV
68 mulcom 8839 . . . . 5 CV CV CV CV CV CV
6964, 67, 68syl2an 463 . . . 4 CV CV CV CV
7061, 63, 693brtr4d 4069 . . 3 CV CV
7170ralrimiva 2639 . 2 CV CV
7248cnnvnm 21266 . . 3 CV
73 ipblnfi.l . . 3
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 21396 . 2 CV CV CV
7556, 59, 71, 74syl3anc 1182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cop 3656   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752   caddc 8756   cmul 8758   cle 8884  cabs 11735  cnv 21156  cpv 21157  cba 21158  cns 21159  CVcnmcv 21162  cdip 21289   clno 21334   cblo 21336  ccphlo 21406 This theorem is referenced by:  htthlem  21513 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-t1 17058  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340  df-0o 21341  df-ph 21407
 Copyright terms: Public domain W3C validator