Theorem ipdi 8462

Description: Distributive law for inner product.

Hypotheses

Ref	Expression
ipdir.1	|- X = (Base` U)
ipdir.2	|- G = (+v` U)
ipdir.7	|- P = (.i` U)

Assertion

Ref	Expression
ipdi	|- ((U e. CPreHil /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AP(BGC)) = ((APB) + (APC)))

Proof of Theorem ipdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipdir.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
2		ipdir.2	. . . . . 6 |- G = (+v` U)
3		ipdir.7	. . . . . 6 |- P = (.i` U)
4	1, 2, 3	ipdir 8461	. . . . 5 |- ((U e. CPreHil /\ (B e. X /\ C e. X /\ A e. X)) -> ((BGC)PA) = ((BPA) + (CPA)))
5		id 59	. . . . . 6 |- ((B e. X /\ C e. X /\ A e. X) -> (B e. X /\ C e. X /\ A e. X))
6	5	3com12 836	. . . . 5 |- ((C e. X /\ B e. X /\ A e. X) -> (B e. X /\ C e. X /\ A e. X))
7	4, 6	sylan2 451	. . . 4 |- ((U e. CPreHil /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> ((BGC)PA) = ((BPA) + (CPA)))
8	7	fveq2d 3723	. . 3 |- ((U e. CPreHil /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` ((BGC)PA)) = (*` ((BPA) + (CPA))))
9	1, 3	ipcj 8329	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (BGC) e. X /\ A e. X) -> (*` ((BGC)PA)) = (AP(BGC)))
10		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> U e. NrmCVec)
11	1, 2	nvgcl 8203	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ C e. X) -> (BGC) e. X)
12	11	3com23 838	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. X /\ B e. X) -> (BGC) e. X)
13	12	3adant3r3 843	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (BGC) e. X)
14		3simp3 789	. . . . . 6 |- ((C e. X /\ B e. X /\ A e. X) -> A e. X)
15	14	adantl 388	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> A e. X)
16	9, 10, 13, 15	syl3anc 857	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` ((BGC)PA)) = (AP(BGC)))
17		phnv 8432	. . . 4 |- (U e. CPreHil -> U e. NrmCVec)
18	16, 17	sylan 448	. . 3 |- ((U e. CPreHil /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` ((BGC)PA)) = (AP(BGC)))
19		cjaddt 6762	. . . . . 6 |- (((BPA) e. CC /\ (CPA) e. CC) -> (*` ((BPA) + (CPA))) = ((*` (BPA)) + (*` (CPA))))
20	1, 3	ipcl 8327	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X) -> (BPA) e. CC)
21	20	3adant3r1 841	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (BPA) e. CC)
22	1, 3	ipcl 8327	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. X /\ A e. X) -> (CPA) e. CC)
23	22	3adant3r2 842	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (CPA) e. CC)
24	19, 21, 23	sylanc 471	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` ((BPA) + (CPA))) = ((*` (BPA)) + (*` (CPA))))
25	1, 3	ipcj 8329	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X) -> (*` (BPA)) = (APB))
26	25	3adant3r1 841	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` (BPA)) = (APB))
27	1, 3	ipcj 8329	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. X /\ A e. X) -> (*` (CPA)) = (APC))
28	27	3adant3r2 842	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` (CPA)) = (APC))
29	26, 28	opreq12d 3973	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> ((*` (BPA)) + (*` (CPA))) = ((APB) + (APC)))
30	24, 29	eqtrd 1505	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` ((BPA) + (CPA))) = ((APB) + (APC)))
31	30, 17	sylan 448	. . 3 |- ((U e. CPreHil /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (*` ((BPA) + (CPA))) = ((APB) + (APC)))
32	8, 18, 31	3eqtr3d 1513	. 2 |- ((U e. CPreHil /\ (C e. X /\ B e. X /\ A e. X)) -> (AP(BGC)) = ((APB) + (APC)))
33		id 59	. . 3 |- ((C e. X /\ B e. X /\ A e. X) -> (C e. X /\ B e. X /\ A e. X))
34	33	3com13 837	. 2 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (C e. X /\ B e. X /\ A e. X))
35	32, 34	sylan2 451	1 |- ((U e. CPreHil /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AP(BGC)) = ((APB) + (APC)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215   + caddc 5220  *ccj 6695  NrmCVeccnv 8167  +vcpv 8168  Basecba 8169  .icip 8311  CPreHilcphl 8430

This theorem is referenced by:  ip2dii 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-sum 6933  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183  df-ip 8312  df-ph 8431

Copyright terms: Public domain